抛物线y=ax^2+bx+c(a>0)交X轴于A B两点，交Y轴于C点，A点在B点的左侧，已知B点坐标为（8，0）

Question

抛物线y=ax^2+bx+c(a>0)交X轴于A B两点，交Y轴于C点，A点在B点的左侧，已知B点坐标为（8，0），tan角ABC=1/2，△ABC面积为8
若直线EF‖X轴，从C开始，以每秒一个单位长度向X轴平移，与X轴重合时结束，并且交Y轴、线段BC于点E、F。动点P同时从B点以每秒2个长度单位的速度向原点O运动，运动到O结束。链接FP，设运动时间为T秒。
1.当△PBF与△ABC相似，求出T的值
2.设AC与EF交于M，当T为多少时，M、P、A、F所围成图形是平行四边形、等腰梯形、等腰直角三角形

（图麻烦自己画，不能上传）

Answer 1

代入B点坐标到方程中,得到 64a+8b+c=0; (1)
由y(0)=c易知,tan角ABC=|c|/8,则|c|=(1/2)×8=4;
△ABC面积=(1/2)×(8-xA)×|c|=2·(8-xA)=8 →A点横坐标xA=4.
由于a>0,抛物线开口向上,xB>xA>0,则可知C点一定在X轴上方;故c>0.则c=4.
代入(1)得 16a+2b=-1; (2)
将A(4,0)代入抛物线方程y=ax^2+bx+4得
4a+b=-1 (3)
解由(2)(3)组成的方程组得
a=1/8, b=-3/2.
则抛物线方程为
y=x^2 /8 -3x/3 +4 .

1.
由C(0,4),B(8，0），A(4,0)求得直线CB斜率为-1/2;CA斜率为-1; BC=4√5
在任意t≤4时刻,根据题意求得P坐标(8-2·t ,0),E坐标(0 , 4-1·t);
由CE/EF=|-1/2|可知 EF=2CE=2×1·t=2t.即得F坐标(2t,4-t).
由勾股定理知CF=√(CE^2 + EF^2) =√5·t; 则BF=BC-CF=√5·(4-t).
设E和F的纵坐标为h,h=4-t.
当△PBF与△ABC相似，由于∠B是公共角,则根据∠BPF的情况,可能有两种情形:
(1)∠BPF=∠BAC,此时PF平行于AC,
因此BP:AB=BF:BC
=h:c=(4-t):4
即(2·t):(8-4)=(4-t):4
→2·t=4-t;
t=4/3.
(2)∠BPF=∠ACB,此时满足如下条件:
BP:BC=BF:AB
即(2t):(4√5)=[√5·(4-t)]:4
→10·(4-t)=4t;
t=20/7.
经检验,均符合条件0<t≤4.

2.
已有条件EF‖X轴,即有MF‖AP;
(1)若MA‖PF,则所围成图形是平行四边形.
那就是第1问中的第(1)种情况,t=4/3.
(2)在条件MF‖AP下,若四点围成图形是等腰梯形,则只能有MA=PF.
容易得出,此时应有PF的斜率=-MA的斜率=1.
即[(4-t)-0]/[2t-(8-2t)]=1.
4-t=4t-8
t=12/5 (<4,满足条件)
P点横坐标8-2t=16/5<4,即P点在A的左边,则不能构成等腰梯形.它是两个对顶的等腰直角三角形.
(3)
两条平行线上的两对点若能组成一个三角形,则必有一对是重合的.
根据题意,M不可能与F重合,因为AM与BF交于C点.
所以只能A与P重合.
因此,8-2t=4, t=2.
如果构成直角三角形,则有两种情况:1).MA⊥AF;此时AF(即PF)的斜率为1,这就是(2)的情况; 2).MF⊥AF.即AF是垂直于X轴的线.
那么此时F的横坐标与A相同,为4.
则MF=EF/2=2.
AF=h=4-2=2.
这是等腰直角三角形. (t=2)

Answer 2

抛物线y=ax^2+bx+c(a>0)交X轴于A B两点，交Y轴于C点，A点在B点的左侧，已知B点坐标为（8，0），tan角ABC=1/2，△ABC面积为8
若直线EF‖X轴，从C开始，以每秒一个单位长度向X轴平移，与X轴重合时结束，并且交Y轴、线段BC于点E、F。动点P同时从B点以每秒2个长度单位的速度向原点O运动，运动到O结束。链接FP，设运动时间为T秒。
1.当△PBF与△ABC相似，求出T的值
2.设AC与EF交于M，当T为多少时，M、P、A、F所围成图形是平行四边形、等腰梯形、等腰直角三角形
(1)解析：∵抛物线y=ax^2+bx+c (a>0)交X轴于A B两点，B(8,0),tan∠ABC=1/2
∴C(0,-4)
64a+8b+c=0 (m)
C=4 (n)
∵S(⊿ABC)=8，1/2*(8-x(A))*4=8==>x(A)=4，∴A(4,0)
16a+4b+c=0 (t)
(m)(n)(t)联立解得a=1/8，b=-3/2
∴y=1/8x^2-3/2x+4
|AB|=4,|AC|=4√2,|BC|=4√5
∵△PBF∽△ABC, 直线EF‖X轴，从C开始，以每秒一个单位长度向X轴平移, 动点P同时从B点以每秒2个长度单位的速度向原点O运动, 运动时间为T秒
∴|PB|=2T，|CE|=T，|EF|=2|CE|
∴P(8-2T,0)，F(2T,4-T)
∴|PF|=√[(8-4T)^2+(T-4)^2]
|PB|/|PF|=|AB|/|AC|=√2/2
2T/√[(8-4T)^2+(T-4)^2]= √2/2==>9T^2-72T+80=0==>T=20/3(舍)，T=4/3

(2) 解析：由(1)知P(8-2T,0)，F(2T,4-T)，A(4,0)
∵tan∠CAO=1，∴EM=T，M(T,4-T)
显然，当T=4/3时，MAPF为平行四边形
当P与A点重合，即T=2时，|MF|=T=2，∠MFA=90°，围成图形为等腰直角三角形
|FA|=√[(2T-4)^2+(4-T)^2]
|MP|=√[(8-3T)^2+(T-4)^2]
(2T-4)^2+(4-T)^2=(8-3T)^2+(T-4)^2==>5T^2-32T+48=0==>T1=2.4，T2=4（舍）
∴当T=2.4时，MPAF为等腰梯形

Answer 3

代入B点坐标到方程中,得到 64a+8b+c=0; (1)
由y(0)=c易知,tan角ABC=|c|/8,则|c|=(1/2)×8=4;
△ABC面积=(1/2)×(8-xA)×|c|=2·(8-xA)=8 →A点横坐标xA=4.
由于a>0,抛物线开口向上,xB>xA>0,则可知C点一定在X轴上方;故c>0.则c=4.
代入(1)得 16a+2b=-1; (2)
将A(4,0)代入抛物线方程y=ax^2+bx+4得
4a+b=-1 (3)
解由(2)(3)组成的方程组得
a=1/8, b=-3/2.
则抛物线方程为
y=x^2 /8 -3x/3 +4 .

1.
由C(0,4),B(8，0），A(4,0)求得直线CB斜率为-1/2;CA斜率为-1; BC=4√5
在任意t≤4时刻,根据题意求得P坐标(8-2·t ,0),E坐标(0 , 4-1·t);
由CE/EF=|-1/2|可知 EF=2CE=2×1·t=2t.即得F坐标(2t,4-t).
由勾股定理知CF=√(CE^2 + EF^2) =√5·t; 则BF=BC-CF=√5·(4-t).
设E和F的纵坐标为h,h=4-t.
当△PBF与△ABC相似，由于∠B是公共角,则根据∠BPF的情况,可能有两种情形:
(1)∠BPF=∠BAC,此时PF平行于AC,
因此BP:AB=BF:BC
=h:c=(4-t):4
即(2·t):(8-4)=(4-t):4
→2·t=4-t;
t=4/3.
(2)∠BPF=∠ACB,此时满足如下条件:
BP:BC=BF:AB
即(2t):(4√5)=[√5·(4-t)]:4
→10·(4-t)=4t;
t=20/7.
经检验,均符合条件0<t≤4.

Answer 4

y=1/8(x-4)(x-8)