f(x)在x=x0处是否可导?

Question

已知f(x)在x=x0处连续。当Δx->0时，[f(x0+3Δx)-f(x0-Δx)]/Δx的极限存在。请问f(x)在x0处是否可导？为什么？如果不可导，能否给我一个例子？
不是[f(x0+Δx)-f(x0-Δx)]/Δx 极限存在，而是[f(x0+3Δx)-f(x0-Δx)]/Δx的极限存在！
下面十八位回答得都不对.
下面二十一位回答得仍然不对.

Answer 1

可导。
反驳楼上所说的f(x)=|x|反例：[f(x0+3Δx)-f(x0-Δx)]/Δx在0左右的极限一个是-2一个是+2并不相等，因此极限不存在。

下面证明可导。首先，可导的充要条件是:
lim [h->0] (f(x0+h)-f(x0))/h 存在。
现在看原题。为了方便表示，令h表示Δx.则：
(f(x0+3h)-f(x0-h))/h 的极限存在。所以，
(f(x0+h)-f(x0-h/3))/(h/3)的极限存在（这里只是把h换成也趋近于x0 的h/3）----(1)
类似地：
(f(x0-h/3)-f(x0+h/9))/(-h/9)的极限存在（这里把h换成了-h/9)---(2)
由(1)得：
(f(x0+h)-f(x0-h/3))/h 的极限存在（只是分母乘以3了）
由(2)得：
(f(x0-h/3)-f(x0+h/9))/h 的极限存在（分母乘以-9）
上面两式相加，得：
(f(x0+h)-f(x0+h/9))/h的极限存在-----(*)
这是本证明的关键。
现在，由于(*)式的极限存在，有
(f(x0+h/9)-f(x0+h/81))/(h/9)的极限存在，即
(f(x0+h/9)-f(x0+h/81))/h的极限存在，和(*)式相加得：
(f(x0+h)-f(x0+h/81))/h的极限存在。
由此，经过任何整数n步数，得：
(f(x0+h)-f(x0+h/9^n))/h的极限均存在，对任何正整数n. ----(**)

现在以f(x)在x=x0处连续的条件运用于(**)式。连续于x0的充要条件是：
lim [x->x0] f(x)=f(x0)且存在。
现在(**)式中固定h.增加n.于是在n增大时，h/9^n --> 0. 即x0+h/9^n--> x, f(x0+h/9^n)-->f(x0).
由f(x0+h/9^n)-->f(x0)推出f(x0+h/9^n)-f(x0)-->0。因为h是固定的，所以(f(x0+h/9^n)-f(x0))/h-->0. （这里固定h是重要的，固定h而去增加n，才可以最后除以h仍然得到极限0，因为这里h是一个非零常数）

将这个式子和(**)式相加，即得(f(x0+h)-f(x0))/h的极限存在。即f(x)在x0处可导的定义。证毕。

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楼主的问题补充是有决定性的。因为如果原式不是[f(x0+3Δx)-f(x0-Δx)]/Δx而是[f(x0+Δx)-f(x0-Δx)]/Δx，则这个证明无法继续，原因是因为这里没有一个“系数差”，所以上面的换h为h/3，再换为-h/9，再相加的过程是无法执行的。而这个结果实际上是不一定可导，比如f(x)=|x|。

Answer 2

可导的充要条件是:
lim [h->0] (f(x0+h)-f(x0))/h 存在。
现在看原题。为了方便表示，令h表示Δx.则：
(f(x0+3h)-f(x0-h))/h 的极限存在。所以，
(f(x0+h)-f(x0-h/3))/(h/3)的极限存在（这里只是把h换成也趋近于x0 的h/3）----(1)
类似地：
(f(x0-h/3)-f(x0+h/9))/(-h/9)的极限存在（这里把h换成了-h/9)---(2)
由(1)得：
(f(x0+h)-f(x0-h/3))/h 的极限存在（只是分母乘以3了）
由(2)得：
(f(x0-h/3)-f(x0+h/9))/h 的极限存在（分母乘以-9）
上面两式相加，得：
(f(x0+h)-f(x0+h/9))/h的极限存在-----(*)
这是本证明的关键。
现在，由于(*)式的极限存在，有
(f(x0+h/9)-f(x0+h/81))/(h/9)的极限存在，即
(f(x0+h/9)-f(x0+h/81))/h的极限存在，和(*)式相加得：
(f(x0+h)-f(x0+h/81))/h的极限存在。
由此，经过任何整数n步数，得：
(f(x0+h)-f(x0+h/9^n))/h的极限均存在，对任何正整数n. ----(**)

现在以f(x)在x=x0处连续的条件运用于(**)式。连续于x0的充要条件是：
lim [x->x0] f(x)=f(x0)且存在。
现在(**)式中固定h.增加n.于是在n增大时，h/9^n --> 0. 即x0+h/9^n--> x, f(x0+h/9^n)-->f(x0).
由f(x0+h/9^n)-->f(x0)推出f(x0+h/9^n)-f(x0)-->0。因为h是固定的，所以(f(x0+h /9^n)-f(x0))/h-->0. （这里固定h是重要的，固定h而去增加n，才可以最后除以h仍然得到极限0，因为这里h是一个非零常数）

将这个式子和(**)式相加，即得(f(x0+h)-f(x0))/h的极限存在。即f(x)在x0处可导的定义。证毕。

Answer 3

200分啊,一定是我的了!

先留个记号,今晚一定想出来!

过会想出来了再补充上!
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我想了一晚上了啊,还没出来。

大概思路：假设f(x)=x,当x不等于正负3的-n次方的时候。
在正负3的-n次方的点上，我们给重新定义，使之满足：

函数值趋于0，满足要求的极限存在，但导数的极限不存在。在这些点上的函数值的重新定义，需要构造，或者说明其存在性也可以。但这并不容易的。。。。

明天继续想！
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熬到三点多,今天12点多才起来,终于在梦中想出来了!

答案是:在x0点不一定可导。主要难点是构造反例f(x).

构造一个集合A，无穷可数的，而且在0点稠密。A的构造方法及性质将在后面详述。
定义f(x)=x,x不属于A时。f(x)................

太无聊了，我去自习室整理完了，再回来抄上！

Answer 4

不可导.
下面给出一个单边极限存在的反例,设f(x)是这样一个非初等函数,当x>=0,f(x)=x,当x<0,f(x)=-3x,显然这个函数在x=0处连续,且当Δx从大于零方向趋于零[f(x0+3Δx)-f(x0-Δx)]/Δx的极限存在,下面证明这一点.
当Δx>=0[f(0+3Δx)-f(0-Δx)]/Δx=(3Δx-3Δx)/Δx=0,极限存在.
双边极限存在的例子不太好举,再思考一下.

Answer 5

是可导的，因为当Δx->0时，[f(x0+3Δx)-f(x0-Δx)]/Δx的极限存在，那么当Δx->0时，[f(x0+3Δx)-f(x0-Δx)]/4Δx的极限存在，则左右极限都存在，这个极限就是函数的导数，所以是可导的