=(1/x)Σ(n=1,∞)(1/n)(x/2)^n
Σ(n=1,∞)(1/n)(x/2)^n
逐项求导:
(1/2)Σ(n=1,∞)(x/2)^(n-1)
=(1/2) 1/(1-x/2)
=1/(2-x),-1<x/2<1
积分=-ln(2-x)+C
x=0,Σ(n=1,∞)(1/n)(x/2)^n=0
-ln2+C=0,C=ln2
,Σ(n=1,∞)(1/n)(x/2)^n=ln2-ln(2-x)=ln[2/(2-x)]
原式=ln[2/(2-x)]/x
x=-1,原式为交错级数,收敛;
x=1,原式=Σ(n=1,∞)(1/n)(x/2)^n=Σ(n=1,∞)(1/n)(1/2)^n<Σ(n=1,∞)(1/2)^n,
收敛。
收敛区间[-1,1]
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