大一高数，第2题的（3）求幂级数和函数

如题所述

推荐答案 2019-06-30

=（1/x）Σ(n=1,∞）（1/n）（x/2）^n
Σ(n=1,∞）（1/n）（x/2）^n
逐项求导:
(1/2)Σ(n=1,∞）（x/2）^(n-1)
=(1/2) 1/(1-x/2)
=1/(2-x),-1＜x/2＜1
积分=-ln（2-x）+C
x=0,Σ(n=1,∞）（1/n）（x/2）^n=0
-ln2+C=0,C=ln2
,Σ(n=1,∞）（1/n）（x/2）^n=ln2-ln（2-x）=ln[2/(2-x)]
原式=ln[2/(2-x)]/x
x=-1，原式为交错级数，收敛；
x=1，原式=Σ(n=1,∞）（1/n）（x/2）^n=Σ(n=1,∞）（1/n）（1/2）^n<Σ(n=1,∞）（1/2）^n,
收敛。
收敛区间[-1,1]

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