若F(X)是f(x)的一个原函数 G(X)是1/f(x)的一个原函数又F(X)G(X)=-1 f(0)=1 求fx

Question

如题所述

Answer 1

由F(X)是f(x)的一个原函数，G(X)是1/f(x)的一个原函数可得：G(X)=-F(X)^(-2)
带入F(X)G(X)=-1可得：F(X)=1
所以f(x)方程可以设f(x)=x+c
(c为一个常数）把f(0)=1点带入方程可得：c=1
所以方程：f(x)=x+1

Answer 2

f(x)*g(x)=-1
所以两边关于x求导
f'(x)*g(x)+f(x)*g'(x)=0
f(x)是f(x)的原函数，g(x)是1/f(x)的原函数
所以
f(x)*g(x)=-f(x)/f(x)
两边乘上f(x)f(x)得
[f(x)]^2=[f(x)]^2,
即
f(x)=±f(x)=f'(x)
∴±1=f'(x)/f(x)
∴±1=[lnf(x)]'
所以lnf(x)=±x+c
，c为常数∴f(x)=e^[±x+c],f(x)=f'(x)=±e^[±x+c]
∵f(0)=1∴1=±e^c,
所以c=0
,f(x)=e^x或-e^(-x)

Answer 3

[F(X)*G(X)]'=f(x)G(x)+F（x）/f(x)=(-1)'=0
G(X)=-1/F(X)代入得f(x)=F（x）
原函数与导数相同，所以f(x)=e的x+a
次
因为f(0)=1,所以a=0
f(x)=e的x次方