2012江苏 高考 数学卷 14、已知正数a、b、c满足：5c-3a≤b≤4c-a，c ln b≥a+c ln c，则b/a的取值范围是___

Question

c ln b≥a+c ln c 求解释。

Answer 1

纯代数的方法：
首先，4c-a>=b>=0，c/a>=1/4 ；5c-3a<=4c-a，c/a<=2
从而 b/a<=2*4-1=7,特别当b/a=7时，第二个不等式成立。等号成立当且仅当a:b:c = 1:7:2.
又c ln b≥a+c ln c 知道0<a<=cln(b/c)
从而b/a>=(b/c)/ln(b/c),设函数f(x)=x/ln(x).(x>1)由导数知识知道函数的最小值为e，从而b/a>=e,
等号当且仅当b/c=e,b/a=e成立。代入第一个不等式知：2<=b/a=e<=3，不等式成立,从而e可以取得。等号成立当且仅当a:b:c = 1:e:1.
从而b/a的取值范围是[e,7】双闭区间。

当然本题或许可以从几何的角度，也就是线性规划的知识来解答。本题主要考察用不等式的方法求变量的范围，主要考察=号是否成立要单独验证。本题有点难度。个人觉得不应该在高考中考查取值范围的题目，因为从广义上讲填（0，+无穷）都应该算对！题目本身有点‘歧义’。当然本题的取值范围本质上是考查的2元函数的值域，只不过在高考试卷上不能直接说求值域，因为有超纲的嫌疑，而用取值范围可以让考生大展身手了。只不过出在填空题，有点可惜了，本题有点创新的成份，我想主要是给北大清华的学生来准备的吧！祝福江苏的学子！

Answer 2

是【e，7】
第一个式子可以5c/a-3≤b/a≤4c/a-1,然后把b/a看做y用解析几何做，得b/a≤7
第二个式子a/c≤lnb/c 然后a/b≤c/blnb/c 也就是a/b≤ln b/c的c/b次方 再结合图像，得b/a≥e
累死了
差不多了
还是要自己去想想的

Answer 3

5c-3a<=4c-a，c <=2 a，b <= 4c-a<=7 a从而 b/a<=7。
又c ln b≥a+c ln c ，0<a<=cln(b/c)
b/a>=(b/c)/ln(b/c),设函数f(x)=x/ln(x).(x>0)由导数知识知道f(x)的最小值为e， b/a>=e, b/a的取值范围是[e,7」

Answer 4

设c=1,则5-3a<=b<=4-a lnb>=a即e^a<=b
利用线性规划b=4-a与b=5-3a的交点坐标为(1/2,7/2)；则b/a的最大值为7
过原点作b=e^a的切线得b/a的最小值为e且切点坐标为（1，e)在区域内.
故b/a的取值范围为[e,7]

Answer 5

首先，4c-a>=b>=0，c/a>=1/4 ；5c-3a<=4c-a，c/a<=2
从而 b/a<=2*4-1=7,特别当b/a=7时，第二个不等式不成立。
又c ln b≥a+c ln c 知道0<a<=cln(b/c)
从而b/a>=(b/c)/ln(b/c),设函数f(x)=x/ln(x).(x>1)由导数知识知道函数的最小值为e，从而b/a>=e,
等号当且仅当b/c=e,b/a=e成立。代入第一个不等式知：2<=b/a=e<=3，不等式成立,从而e可以取得。从而b/a的取值范围是[e,7)左闭右开。