二次型用配方法化为标准型所用变换矩阵一定可逆吗 若不是 那么怎样保证自己的变换所用的矩阵是可逆的

Question

如题所述

Answer 1

事实证明不一定是可逆的，参考北航出版社线代第二版170页例6.3.1

f(x1,x2,x3)=(x1+x2)^2+(x2-x3)^2+(x3+x1)^2=2(y1)^2+3/2*(y2)^2（y1=x1+1/2*x2+1/2*x3,y2=x2+x3）
（书上用的变换）
首先f的矩阵R=2，无论怎么化，变换矩阵都不会是满秩的。

但我就有了一个新的问题。。究竟怎么才算化成了标准型，有没有确切的定义啊？虽然它有这种形式，但是不可逆的过程好像都意义不大。

Answer 2

明白了 其实那个零并不是一个系数 而是Λ里的 λ此时的拉姆达 等于零 再乘上一个任意x1x2x3线性组合的 结果系数还是零

Answer 3

一定是可逆的追问

我要的是理由 亲可以说下你的见解吗

追答

你想一下，我们用配方法都是令y1=x1+某个多项式，同样的就可以逆过来x1=y1-这个多项式，这个过程就是可逆的啊。以上就是我的理由，希望你理解了。

追问

你说的有道理 但是这只是其中一个变量变换 比如说三阶的矩阵 在做变换时x1=y1-y2 然后又很巧得令x2=-y1+y2 这样出来的变换矩阵有两行成比例 则此矩阵行列式得0 即不可逆 是不是有这种可能呢 现在就是要如何避免出现这种情况

追答

这样出来的变换矩阵怎么会是两行成比例呢，你举得例子是错误的，一定是可逆的。要不你加我的qq2206647385