但这不是一个精确的定义。因为什么叫“事物”，什么叫“一定性质”，
什么叫“全体”，含义都没有严格界定。当然在大多数情况下，这并不防碍我们正确地应用“集合”这个概念及集合的性质来解决一些问题。在应用集合概念和理论的时候，我们要求集合有所谓的“一定性”：
即对于任何一个事物y和任何一个集合B，“y是集合B中的一个事物”与“y不是集合B中的一个事物”必定有一个断言而且只有一个断言是正确的。
因而，在一般情况下，集合的界定是很清楚的。然而在某些情况下，按上述描述性定义规定的集合概念回产生麻烦。如：
（1）理发师悖论
理发师说；他给一切“不给自己刮脸的人”刮脸。
初看起来，理发师的服务对象组成了一个集合B。但是在讨论理发师自己是否属于B时却出现了矛盾。理发师若不给自己刮脸，他就应该属于B，即自己也成了自己的服务对象，他就应该给自己刮脸。这样，他就属于“给自己刮脸的人”，从而他就不属于B。但是若他不属于B,即他“给自己刮脸“，他自己就不是服务对象，他就不应该给自己刮脸，因而也产生矛盾。
这样的悖论还有许多。
（2）语义悖论
由于英语中的音节只有有限多个，因而英语中包含的音节数少于40个的英语表达式也只可能是有限多个。特别地，用这样的表达式能表示的正整数也只可能是有限多个。我们用B表示“能用这样的表达式表示的正整数全体所组成的集合”。设x是用少于40个音节不能表达的最小正整数。但是x可以用下面的英语表达式表示：
The
least
positive
integer
which
is
not
denoted
by
an
expression
in
the
English
language
containing
fewer
than
forty
syllables.
上述表达式只含有37个音节，因而x属于B，与x不属于B矛盾。
鉴于以上类型例子的矛盾，数学家重新研究了集合论的基础，尝试用各种方法来避免悖论。他们提出了集合论的公理系统，其作用是对作为数学研究对象的集合加上一定的限制，使之得以消除产生悖论的可能。在这些限制下，上述种种“集合“都被排除在数学研究的对象之外。当然这些限制也是非常宽松的，足够保留数学理论所有有价值的东西，足够满足数学发展的需求。在这样的公理化理论中，集合这个概念仍然不加定义，但是它的性质就由所谓的“集合公理”反映出来。而对集合论基础的研究，导致了数学的一个重要分支——数理逻辑的迅速发展。
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