设连续型随机变量X的概率密度为f(x)={Ax(1-x)^3, 0<=x<=1 0, 其他。求常数A

Question

设连续型随机变量X的概率密度为f(x)={Ax(1-x)^3, 0<=x<=1 ; 0, 其他。
(1)求常数A;
(2)求x的分布函数F（x）;
(3)求P(0<=x<=1/2)

Answer 1

分享解法如下。(1),由概率密度的性质，有∫(0,1)f(x)dx=1。∴A∫(0,1)x(1-x)³dx=1。而，∫(0,1)x(1-x)³dx=1/20。∴A=20。
(2)，x<0时，F(x)=0；0≤x<1时，F(x)=∫(0,x)f(x)=20∫(0,x)x(1-x)³dx=10x²-20x³+(15x^4)-(4x^5)；x≥1时，F(x)=1。
(3)，P(0≤x≤1/2)=F(1/2)-F(0)=13/16。

Answer 2

f(x)
=Ax(1-x)^3 ; 0≤x≤1
=0 ; elsewhere
(1)
∫(0->1) f(x) dx =1
∫(0->1) Ax(1-x)^3 dx =1
A∫(0->1) [-(1-x)+1](1-x)^3 dx =1
A∫(0->1) [(1-x)^3 -(1-x)^4] dx =1
A[ (1-x)^5/5 - (1-x)^4/4]|(0->1) =1
A( 1/4-1/5)=1
A=20
(2)
0≤x≤1
F(x)
=∫(0->x) f(t) dt
=20∫(0->x) t(1-t)^3 dt
=20∫(0->x) [(1-t)^3 -(1-t)^4] dt
=20[ (1-t)^5/5 - (1-t)^4/4]|(0->x)
=20[ (1-x)^5/5 - (1-x)^4/4 - ( 1/5-1/4) ]
=20[ (1-x)^5/5 - (1-x)^4/4 +1/20 ]
=4(1-x)^5 - 5(1-x)^4 +1
ie
F(x)
=0 ; x<0
=4(1-x)^5 - 5(1-x)^4 +1 ; 0≤x≤1
=1 ; x>1
(3)
P(0<X≤1/2)
=F(1/2)
=4(1/2)^5 - 5(1/2)^4 +1
=1/8-5/16 +1
=(18-5)/16
=13/16

Answer 3

由概率密度的规范化，∫f(x)dx=1。(1)有∫(0,1)f(x)dx=1。∴A∫(0,1)x(1-x)³dx=1。而，∫(0,1)x(1-x)³dx=1/20。∴A=20。
(2)，x<0时，F(x)=0；0≤x<1时，F(x)=∫(0,x)f(x)=20∫(0,x)x(1-x)³dx=10x²-20x³+(15x^4)-(4x^5)；x≥1时，F(x)=1。
(3)，P(0≤x≤1/2)=F(1/2)-F(0)=13/16。

Answer 4

以X取值为分段标准

当X<0时P=1/2 （YZ）=（0,0）
当0=<X<1/2时P=3/8 （YZ）=（1,0）
当1/2=<X<1时P=1/8 (YZ)=(1,1)

当（YZ）=（0,1）时没有对应X取值，所以P=0
Z（列）Y（横） 0 1
0 1/2 3/8
1 0 1/8
(1)利用归一性，从0到1积分∫a*(1-x)dx =1 ,解得a = 6; (2) 利用分布函数定义为密度函数的变上限积分求，当x<0时 F(X) = 0,当0<=x<=1时，Fx(x) = ∫a*t(1-t)dt,上限为x,下限为0，则F(x) = 3*x^2 -2*x^3 ,当x>1时 F(x) = 1;