复合函数是什么意思？条件是什么？定义域以及值域如何取？

Question

最好用具体某一个函数举例讲解一下，谢谢！

Answer 1

复合函数的意思是原来就一个函数
y=f(t)
t是自变量，y是t 的函数，后来t又变成了另外一个变量的函数了，也就是说过去的t现在升级了，
t=g(x)
把t=g(x)代回原来的式子中，原来的式子就变成
y=f[g(x)]此时，我们称y是x的复合函数，
定义域与值域，单调性都有规律的；
如:求函数
y=√x^2-3 的定义域，值域。
原函数可拆成：
y=√t (外部函数)
t=x^2-3(内部函数)
在函数y=√t中t≥0,而t≥0在下一个函数中变成了值域为【0，+∞）了；
由于t≥0得
x^2-3≥0==>x≥√3,或x≤-√3所以函数的定义域就搞定了：【√3，+∞）∪（-∞，-√3】
值域：一般就在复合函数中求就可以了，估计你是高一预科生，说多了可能也不知道，
y=√x^2-3 ≥0
如果题目中有指定的定义域，那就要先求t的范围，再求y的范围，如
y=√x^2+3 x∈[-1,4]求值域。
-1≤x≤3==>0≤x^2≤9,(而不是1≤x^2≤9)
3≤x^2+3≤12==>√3≤√x^2+3≤√12
所以原函数的值域为【√3，√12】

Answer 2

求复合函数的定义域一般有两种情况。
复合函数的定义域求法：
（1）已知f(x)的定义域为（a,b），求f(g(x))的定义域；
求法：由a<x<b，知a<g(x)<b，解得的x的取值范围即是f(g(x))的定义域。
（2）已知f(g(x))的定义域为（a,b），求f(x)的定义域；
求法：由a<x<b，得g(x)的取值范围即是f(x)的定义域。