如图，抛物线与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点，且x1＜x2，与y轴交于点C（0，-4），其中x1，x2是方程x2

Question

如图，抛物线与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点，且x1＜x2，与y轴交于点C（0，-4），其中x1，x2是方程x2-4x-12=0的两个根．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点M是线段AB上的一个动点，过点M作MN∥BC，交AC于点N，连接CM，当△CMN的面积最大时，求点M的坐标；
（3）点D（4，k）在（1）中抛物线上，点E为抛物线上一动点，在x轴上是否存在点F，使以A、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形，如果存在，求出所有满足条件的点F的坐标，若不存在，请说明理由。 （只要第三题全过程）

Answer 1

解：
(1) x1，x2是方程x2-4x-12=0的两个根，抛物线的解析式可表示为：
y = a(x² - 4x -12)
将与y轴交点C(0，-4) 代入得：
-4 = -12a ==> a = 1/3
因此抛物线的解析式为：
y = (x² - 4x -12)/3
(2) 设M点坐标为 M(x3, 0), x1≤x3≤x2；
∵ x1，x2是方程x2-4x-12=0的两个根, x1 < x2
∴ x1 = -2； x2 = 6
|AM| = x3 - x1 = x3 + 2
|MB| = x2 - x3 = 6 - x3
|AB| = x2 -x1 = 8
SΔABC = 1/2 *|AB|*|yc| = 1/2 *8* 4 = 16
SΔMBC = 1/2* |MB|*||yc| = 2(6-x3)
∵ MN//BC ==> ΔAMN∽ΔABC
∴ SΔAMN/SΔABC = (|AM|/|AB|)² = (x3+2)²/64
==>SΔAMN = SΔABC * (x3+2)²/64 = (x3+2)²/4
∴ SΔCMN = SΔABC - SΔMBS - ΔAMN
= 16 - 2(6-x3) - (x3+2)²/4
= 4 - (x3 -2)²/4
因此：当 x3 =2 时，ΔCMN面积最大，最大值为4；
此时M坐标为 M(2,0)

(3) 由抛物线解析式 y = (x² - 4x - 12)/3，可得D点纵坐标 k = -4
因此D点坐标为：D(4, -4)；
设动点E坐标为E(x4, y4), 则：y4 = (x4² - 4*x4 - 12)/3
F点坐标为 F(x5, 0)；则ADEF构成平行四边形分一下三种情况
① AD, EF 为对角线则有：(平行四边形对角线互相平分==>AD，EF中点相同)
x1 + xd = x4 +x5； ==> -2 + 4 = x4 +x5
y1 + yd = y4 + 0；==> 0 - 4 = (x4² - 4*x4 - 12)/3
整理：
x4 +x5 = 2
x4² - 4*x4 = 0
解得： x4 = 0；x5 =2
或 x4 = 4；x5 = -2 (E点与D重合，舍去)
因此 E点坐标为 E(0, -4)，F坐标为F(2,0)
② AE, DF 为对角线则有：(AE的中点与DF的中点坐标相同)
x1 + x4 = xd +x5； ==> -2 + x4 = 4 +x5
y1 + y4 = yd + 0；==> 0 + (x4² - 4*x4 - 12)/3 = - 4
整理：
x4 -x5 = 6
x4² - 4*x4 = 0
解得： x4 = 0；x5 =-2
或 x4 = 4；x5 = -2 (E点与D重合，舍去)
因此 E点坐标为 E(0, -4)，F坐标为F(-2,0)
因F点与A点重合，因此AE, DF 为对角线不能构成平行四边形；
③ AF, DE 为对角线则有：(AF，DE中点相同)
x1 + x5 = x4 +xd； ==> -2 + x5 = x4 + 4
y1 + 0 = y4 + yd；==> 0 + 0 = (x4² - 4*x4 - 12)/3 - 4
整理：
x4 -x5 = -6
x4² - 4*x4 - 24 = 0
解得： x4 = 2+2√7；x5 =8+2√7
或 x4 = 2-2√7；x5 =8-2√7
因此所求坐标为 E( 2+2√7, 2√3/3)，F(8+2√7，0)
或 E( 2-2√7, 2√3/3)，F(8-2√7，0)
综合以上分析，ADEF能够构成平行四边形的点有：
E(0, -4)，F(2,0)；
E( 2+2√7, 2√3/3)，F(8+2√7，0)
E( 2-2√7, 2√3/3)，F(8-2√7，0)

参考资料：http://zhidao.baidu.com/question/358543335.html

Answer 2

楼上参考的答案本身就是错的
方程两根为X1=-2，X2=6
抛物线解析式为Y=X²/3-4X/3-4
代入D(4，K)，K=-4。因此D（4，-4）
①当AD为平行四边形一边时，AD平行且等于EF。
则A、D两点间移动方法与E、F两点间移动方法完全相同
根据A、D坐标，两点纵坐标差为4，因此E、F两点纵坐标差也为4
F在X轴上，纵坐标为0，所以E纵坐标为4或-4
当E纵坐标为4时，F在E点右下，因为A、D横坐标相差2，所以F点横坐标比E点大6。
因为E在抛物线上，所以将Y=-4代入Y=X²/3-4X/3-4
X1=2+2√7，X2=2-2√7
所以F点坐标分别为F1（8+2√7，0）F2（8-2√7，0）
当E纵坐标为-4时，F在E点左上，F点横坐标比E小6
E在抛物线上，将Y=-4代入Y=X²/3-4X/3-4
X1=0，X2=4（舍去）因为此时E与D重合
所以F3（-6，0）
②当AD为对角线时，AF平行且等于DE
因此E点纵坐标为-4，E横坐标为0
因为A到E右移2个单位，所以F到D也右移2个单位
因此F4（2，0）
所以满足要求的F点有4个本回答被网友采纳

Answer 3

俊狼猎英团队为您解答：

（1）设y=a(x^2-4x-12),它过点（0，-4），
∴-4=-12a,a=1/3,
∴抛物线的解析式为y=(1/3)(x^2-4x-12).
(2)A(-2,0),B(6,0),
BC:y=(2/3)x-4,AC:y=-2x-4.
设M(m,0),-2<m<6,MN:y=(2/3)(x-m)交AC于N((m-6)/4,-(m+2)/2),
过M作MP⊥x轴交AC于P(m,-2m-4),
△CMN的面积=(1/2)|xC-xN|*|MP|=(1/4)(6-m)(m+2)=(-1/4)(m-2)^2+4,
当m=2时取最大值，这时M(2,0).
(3)AF, DE 为对角线则有：(AF，DE中点相同)
X1 + x5 = x4 +xd；就是-2 + x5 = x4 + 4
y1 + 0 = y4 + yd；就是 0 + 0 = (x4² - 4*x4 - 12)/3 - 4
整理得： x4 -x5 = -6
x4² - 4*x4 - 24 = 0
解得： x4 = 2+2√7；x5 =8+2√7
或 x4 = 2-2√7；x5 =8-2√7
因此所求坐标为 E( 2+2√7, 2√3/3)，F(8+2√7，0)
或 E( 2-2√7, 2√3/3)，F(8-2√7，0)
综合以上分析，ADEF能够构成平行四边形的点有：
E(0, -4)，F(2,0)；
E( 2+2√7, 2√3/3)，F(8+2√7，0)
E( 2-2√7, 2√3/3)，F(8-2√7，0)

参考资料：http://zhidao.baidu.com/question/363043392.html?seed=0

Answer 4

同学 你是仪陇的吧 这题我们当年做过的