关于格林公式∮cP(x,y)dx+Q(x,y)dy=∫∫D(dQ/dx-dP/dy)dxdy 顺序必须是dQ/dx-dP/dy？不可以dP/dy-dQ/dx？

Question

类似的斯托克斯公式也必须是这个顺序么？ 前后不可调换吗

Answer 1

不可以交换，这是由于我们规定了，封闭曲线的正方向是逆时针，因此最终推出了dQ/dx-dP/dy（详见书上格林公式的证明）。如果当初规定顺时针为正方向，就是dP/dy-dQ/dx。

或者你可以这样记，若曲线为逆时针方向，则是dQ/dx-dP/dy；
若曲线为顺时针方向，则是dP/dy-dQ/dx。

斯托克斯公式可用三阶行列式来记，三阶行列式交换两行要变号，因此也不能随便换。追问

所谓正逆又是那个方向看下去呢，不同由X轴Y轴看去一样么

追答

斯托克斯公式不光涉及曲线方向的问题，还有曲面的侧的问题，两个要一起考虑，比较麻烦，不用从这个角度考虑了，还是记那个三阶行列式吧。

如果非要换个方向看，有时是一样的，有时不同，这要看具体情况。

Answer 2

当然不行，如果交换了，就相差一个负号