两个
实对称矩阵合同的
充要条件才是有相同的正负惯性指数。
首先合同是等价关系。可以传递。
每个实对称矩阵都可以通过
正交矩阵相似于（由
特征值构成的）
对角矩阵，因为正交矩阵的特点，那么他也合同与由对特征值构成的对角矩阵。
下证，对角矩阵如果正负数元素个数相同，则一定合同。
先证明，对角矩阵一定可以合同与一个对角线上只有正负一以及0的对角矩阵。
设对角矩阵对角线A上第i个元素为a（不为零），那么设P为用（a的
绝对值）^0.5乘E的第i行得到的初等矩阵，那么P^TAP也是个对角矩阵，对角线上除了第i个元素其他和A相同，且第i个元素为正负一，且与a同号。依次这么做，A对角线上所有元素可化为正负一以及0。
再证明，对角线上只有正负一以及0的对角矩阵，只要正负一的个数相同就合同。设对角线上只有正负一以及0的对角矩阵为A，那么用对调ij行的初等矩阵左右乘A，恰使得A的对角线上第i和j个元素对调，其他不变，故命题成立。
结合这两点，易得对角矩阵如果正负数元素个数相同，则一定合同。
那么现在，
两个实对称矩阵合同的充要条件才是有相同的正负惯性指数。
这个结论也是显然的了。