高中数学 二次函数

Question

如题所述

Answer 1

我来给你：hrcren
补充（4）：当对称轴m/2≥b时，函数在[a,b]上单调递减
最小值为f(b)=b^2-mb+m-1=a, 最大值为f(a)=a^2-ma+m-1=b
两式相减得：b²-a²+m(a-b)=a-b;
即(a-b)(a+b-m+1)=0;因为a<b,所以a-b<0
则a+b-m+1=0;即m-1=a+b代入f(a)=a^2-ma+m-1=b
中得：a²-ma+a+b=b;即a(a-m+1)=0;
所以a=0,或a=m-1
于是：a=0,b=m-1或a=m-1,b=0
联系前提条件：m/2≥b,则：m/2≥m-1>0,即1<m≤2;
或m/2≥0,即m≥0；由a<b得，0≤m<1
综上可知：当0≤m<1时，存在a=m-1,b=0适合条件；
当1<m≤2时，存在a=0,b=m-1适合题意；
其余的情况也需要整理一下；
题目是要求存在性，只要存在就可以，不需要求出全部

Answer 2

不等式的意思是：函数f(x)的定义域是[a,b]，值域也是[a,b]
函数f(x)=x^2-mx+m-1=(x-m/2)^2+m-1-m^2/4为开口向上的抛物线，
对称轴为x=m/2，最小值为m-1-m^2/4
①当对称轴a≤m/2≤(a+b)/2时，最小值为f(m/2)=m-1-m^2/4=a
最大值为f(b)=b^2-mb+m-1=b
解得a=m-(1+m^2/4)，b={m+1+√[(m-1)^2+4]}/2 (b的另一解不能保证a<b，舍弃)
②当对称轴(a+b)/2≤m/2≤b时，最小值为f(m/2)=m-1-m^2/4=a
最大值为f(a)=a^2-ma+m-1=b
解得a=m-(1+m^2/4)，b=m^4/16*[(m-2)^2+4]
③当对称轴m/2≤a时，函数在[a,b]上单调递增
最小值为f(a)=a^2-ma+m-1=a, 最大值为f(b)=b^2-mb+m-1=b
解得a={m+1-√[(m-1)^2+4]}/2，b={m+1+√[(m-1)^2+4]}/2
④当对称轴m/2≥b时，函数在[a,b]上单调递减
最小值为f(b)=b^2-mb+m-1=a, 最大值为f(a)=a^2-ma+m-1=b
这个似乎要解一个一元三次方程，我解不出来了