求这个极限

Question

如题所述

Answer 1

分析：刮号内最小的数是0.5（1-1/2），最大的数是1（当n→无穷大时，减数为0）
说以，一组以小于1的数相乘，其结果应当是小于最小的乘数（0.5）
随着n的增大，小于1的乘数越来越多，这个结果会越来越小，所以这个极限应当是 0.追问

你的分析错啦，我用matlab算的极限是0.5

Answer 2

答案：0.503

过程：
设原式以e为底的对数=A 原式=e^A
A=ln[(1-1/22)(1-1/32)......(1-1/20082)]
=ln(1-1/22)+ln(1-1/32)+.....+(1-1/20082)

因为 ln1=0 y=lnx 在x=1附近导数是1/x=1
所以ln(1-△x)≈-△x
A≈-(1/22+1/32+1/42+....+1/20082)

已知：当n很大时，1+1/2+1/3+....+1/n = ln(n)+0.5772 (根据定理)
所以：1/2+1/3+1/4+....+1/2008 = ln2008+0.5772-1 = 7.182
1/20+1/30+....+1/20080 =0.7182

A的绝对值小于 0.7182 设 0.7182-(-A)=B
B=(1/20-1/22)+(1/30-1/32)+(1/40-1/42)+....+(1/20080-1/20082)
=2/(20*22) +2/(30*32) +....+2/(20080*20082)
≈2/(20*20) +2/(30*30) +....+2/(20080*20080)
=(1/50)[(1/4)+(1/9)+(1/16)+...+(1/2008)]
=(1/50)(π^2/6)=0.0329

误差修正: 50△B=[1/(2*2)+1/(3*3)+...] - [1/(2*2.2)+1/(3*3.2)+...]
=(1/2)[0.2/(2*2.2)]+(1/3)[0.2/(3*3.2)]+(1/4)[0.2/(4*4.2)]+......
≈0.2(1/8+1/27+1/64+....)

B=0.0329-△B=0.0329-0.004(1/8+1/27+1/64+....)
=0.032

所以 A =B-0.7182= -0.6862

原式=e^-0.6862=0.5035

Answer 3

用平方差公式，可以约去大部分，只留下(n+1)/2n，所以整个数趋向1/2本回答被提问者采纳