为何数列有界必有极限，有界函数必有上界？

Question

如题所述

Answer 1

我们要探讨为什么数列如果有界，那么它必有极限，以及为什么有界函数必有上界。
首先，我们需要理解数列和有界函数的定义及相关性质。
数列是一组有序的数，每个数都有一个特定的位置，通常使用自然数来标识。
一个有界数列是指，存在一个正数M，使得数列中的所有元素都不超过M。
而数列的极限是指，当数列的项数n无限增大时，数列的项无限接近的一个数。
对于函数来说，有界函数是指在函数的定义域内，存在一个正数M，使得函数的值域中的所有值都不超过M。
上界则是一个特定的数，使得函数的所有值都不超过这个数。
现在我们来解释为什么有界数列必有极限和有界函数必有上界。
对于有界数列，因为所有元素都不超过M，所以我们可以找到一个子数列，使得这个子数列的所有元素都等于M。
根据数列极限的定义，这个子数列的极限就是M。因为子数列是原数列的一部分，所以原数列的极限也是M。
对于有界函数，因为函数的值域中的所有值都不超过M，所以M就是函数的一个上界。
实际上，任何大于M的数都可以作为函数的上界，但M是最小的上界，也称为上确界。
综上所述，有界数列必有极限和有界函数必有上界的原因主要是基于数列和有界函数的定义及相关性质。
答案是：理论解释已完成

Answer 2

1、数列收敛与存在极限的关系：

数列收敛则存在极限，这两个说法是等价的；

2、数列收敛与有界性的关系：

数列收敛则数列必然有界，但是反过来不一定成立！

如果数列{Xn}收敛，那么该数列必定有界。推论：无界数列必定发散；数列有界，不一定收敛；数列发散不一定无界。数列有界是数列收敛的必要条件，但不是充分条件。

扩展资料

一、有界函数的性质：

1、单调性

闭区间上的单调函数必有界。其逆命题不成立。

2、连续性

闭区间上的连续函数必有界。其逆命题不成立。

3、可积性

闭区间上的可积函数必有界。其逆命题不成立。

4、有界性

5、周期性

二、设函数f(x)是某一个实数集A上有定义，如果存在正数M 对于一切X∈A都有不等式|f(x)|≤M的则称函数f(x)在A上有界，如果不存在这样定义的正数M则称函数f(x)在A上无界。

设f为定义在D上的函数，若存在数M（L），使得对每一个x∈D有： ƒ(x)≤M（ƒ(x)≥L）则称ƒ在D上有上（下）界的函数，M（L）称为ƒ在D上的一个上（下）界。