已知{an}的前n项和为Sn,且满足a1=1,Sn-Sn-1=2SnSn-1(n>=2).(1)数列{1/Sn}是否为等差数列？证明你的结论。

Question

（2）求数列{an}的通项公式

Answer 1

证明与解答
（1）是等差数列
Sn-S(n-1)=2SnS(n-1)
两边同时除以SnS(n-1)
1/S(n-1)-1/Sn=2
所以 1/Sn-1/S(n-1)=-2
所以 {1/Sn}是一个等差数列，公差为-2，首项为1
（2）1/Sn=1-2(n-1)=-2n+3
Sn=1/(3-2n)
n=1,a1=S1=1
n≥2，an=Sn-S(n-1)=1/(3-2n)-1/(5-2n)=2/[(3-2n)(5-2n)]
an=2/(4n²-16n+15)

所以 an={1 n=1
{ 2/(4n²-16n+15) n≥2

Answer 2

解 1、 由于Sn-Sn-1=2SnSn-1(n>=2) 两边除以SnSn-1可得 1/Sn-1/Sn-1=-2 其中1/S1=1 故数列{1/Sn}是首项为1公差为-2的等差数列
2、由1可得 数列{1/Sn}通项公式为 1/Sn=-2n+3 所以Sn=1/(3-2n) Sn-1=1/(5-2n) 故an=Sn-Sn-1=2/(4n^2-16n+15)

Answer 3

(1)数列{1/Sn}是等差数列,
∵Sn-Sn-1=2SnSn-1(n>=2)
两边同时除以SnS(n-1)
∴1/S(n-1)-1/Sn=2
∴1/Sn-1/S(n-1)=-2
∴数列{1/Sn}是等差数列,公比为-2
（2）由（1）知
1/S1=1/a1=1
∴ 1/Sn=1/S1-2(n-1)=3-2n
Sn=1/(3-2n)
n≥2时，an=Sn-S(n-1)=1/(3-2n)-1/(5-2n)
=2/[(2n-3)(2n-5)]
n=1时，代入上式a1=2/3不成立
∴数列{an}的通项公式为分段形式：
an={1 , (n=1)
{2/[(2n-3)(2n-5)] ,(n≥2)

Answer 4

Sn-S(n-1)=2SnS(n-1)
1/S(n-1) - 1/Sn = 2
=> {1/Sn}是等差数列
1/S(n-1) - 1/Sn = 2
(1/S1-1/S2)+ ... + (1/S(n-1) - 1/Sn) = 2(n-1)
1/S1-1/Sn = 2(n-1)
1-1/Sn =2(n-1)
1/Sn = 3-2n
Sn = 1/(3-2n)
S(n-1) = 1/(3-2(n-1)) = 1/(5-2n)
Sn-S(n-1) = 1/(3-2n) -1/(5-2n)
an =1/(3-2n) -1/(5-2n)

Answer 5

Sn-S(n-1)=2SnS(n-1) 两边同除以SnS(n-1)得：
1/S(n-1) -1/Sn=2
因此，数列{1/Sn}为等差数列
令bn=1/Sn
d=bn-b(n-1)=-2
b1=1/s1=1/a1=1
bn=b1+(n-1)d=3-2n
Sn=1/(3-2n)
an=Sn-S(n-1)
=1/(3-2n)-1/[3-2(n-1)]
=-2/(4n^2-15n+15)

Answer 6

所以an+2SnSn-1=Sn-Sn-1+2SnSn-1=0, 1/Sn-1 -1/Sn+2=0 , 1/Sn-1/Sn-1=2, 由于S1=a1=1/2,1/S1=2所以1/Sn=2+(n-1)*2=2n，