矩阵特征方程中的三次方程怎么解

Question

矩阵的特征方程按行 或者列展开时会出现一个一元三次方程 没法解 我看课本中都是提取公因式解出来的 但真心不会提取 求大神告诉解法必给高分!!!!!!!!!!!

Answer 1

有一个定理应该可以帮助你。

一个n次多项式的有理根（是根且为有理数）为正负p/q，那么p一定可以整除多项式的常数项，而q一定可以整除首项。

特征多项式的首项是1，故所有有理根均为正负常数项约数

一般人出题不会全出无理根（这样的话，必须要会解3次方程，这对于线性代数来说要求太高），至少一个有理根，那么这样的问题就简单了。

Ps，另外三阶矩阵，特征多项式，可以用这样一套做法求出来，先算矩阵行列式的行列式，记为a0，再算所有的删去第i行第i列(i=1,2,3)得的子式(一共3个)的和，记为a1，再算对角线上各元素的和，记为a2，那么他的特征多项式为λ^3-a2λ^2+a1λ-a0

对于更高阶矩阵，该法也可以，但不一定比直算快，故不推荐。

例：求矩阵
1 2 2
2 1 2
2 2 1
注意到，a0=5,a1=-3+(-3)+(-3)=-9,a2=3
故特征多项式为λ^3-3λ^2-9λ-5
5的约数只有5和1，那么所有可能的有理数的特征值只能是正负1和正负5
经效验-1是特征值-1-3+9-5=0，故可以提λ+1，下面就变成2次，易解，我就不啰嗦了。

Answer 2

一般考试题，方程简单，解出的根都简单；
重点看常数项的整数因子，试几个即可。
如：14 - 9 x - 6 x^2 + x^3；
只需试试：1,2,7，-1，-2，-7哪个可使上式为零？
x=1就行，所以有（x-1）,上式 改写： [14-14x]+ [5 x - 6 x^2 + x^3], 两部分都可提出（x-1），
后面为（x-1）（x^2-5x-14）=。。。