如图,CF、BE是△ABC的高,且BP=AC,CQ=AB。（1）线段AP与AQ有什么样的关系？说明理由。

Question

（1）线段AP与AQ有什么样的关系？说明理由。
（2）题中的△ABC改为钝角三角形。其他条件不变，上述结论还正确吗？请画图并证明你的结论

Answer 1

证明：(1)
∵BE、CF是高，
∴ ∠CFB=∠CEB=90
∴ ∠FBP+ ∠PBC+∠PCB=∠ECB+∠PCB+∠PBC=90 即 ∠FBP=∠ECB
在△ABP和△ACQ中，∠FBP=∠ECB，BP=AC，CQ=AB
∴ △ABP≌△ACQ
∴ AQ=AP
(2)
结论不便，证法完全一样，只是P点在三角形A点外部，E,F分别在AB,AC延长线上

Answer 2

(1)∵∠ABP+∠BAC=∠ACQ+∠BAC=90°
∴∠ABP=∠ACQ
又∵BP=AC,CQ=AB
∴△ABP≌△QCA(边角边)
∴∠BAP=∠CQA
∵∠BAP+∠QAB=90°
∴∠CQA+∠QAB=∠QAP=90°
得AP⊥AQ∵BE、CF是高，
∴ ∠CFB=∠CEB=90
∴ ∠FBP+ ∠PBC+∠PCB=∠ECB+∠PCB+∠PBC=90 即 ∠FBP=∠ECB
在△ABP和△ACQ中，∠FBP=∠ECB，BP=AC，CQ=AB
∴ △ABP≌△ACQ
∴ AQ=AP
(2)结论不变，证法完全一样，只是P点在三角形A点外部，E,F分别在AB,AC延长线上

Answer 3

证明：(1)
∵BE、CF是高，
∴ ∠CFB=∠CEB=90
∴ ∠FBP+ ∠PBC+∠PCB=∠ECB+∠PCB+∠PBC=90 即 ∠FBP=∠ECB
在△ABP和△ACQ中，∠FBP=∠ECB，BP=AC，CQ=AB
∴ △ABP≌△ACQ
∴ AQ=AP