二次函数知识点

Question

如题所述

Answer 1

★二次函数知识点归纳★
一、二次函数的几种形式：
1. 的性质：
的图像及性质
的符号

草图

开口方向 向上 向下
顶点
坐标
对称轴 轴（直线x=0） 轴（直线x=0）

增减性 时，随的增大而减小
时，随的增大而增大 时，随的增大而增大
时，随的增大而减小
最值 时，有最小值． 时，有最大值．
开口
大小 越大，抛物线的开口越小
2. 的性质：
的图像及性质
的符号

草图

开口方向 向上 向下
顶点坐标
对称轴 轴（直线x=0） 轴（直线x=0）

增减性 时，随的增大而减小
时，随的增大而增大 时，随的增大而增大
时，随的增大而减小
最值 时，有最小值． 时，有最大值．
平移规律 上加下减

3. 的性质：
的图像及性质
的符号

草图

开口方向 向上 向下
顶点坐标
对称轴 直线x=h 直线x=h

增减性 时，随的增大而减小
时，随的增大而增大 时，随的增大而增大
时，随的增大而减小
最值 时，有最小值． 时，有最大值
平移规律 左加右减。
4. 的性质：
的图像及性质
的符号

草图

开口方向 向上 向下
顶点坐标
对称轴 直线x=h 直线x=h

增减性 时，随的增大而减小
时，随的增大而增大 时，随的增大而增大
时，随的增大而减小
最值 时，有最小值． 时，有最大值．
平移规律 左加右减，上加下减

5、的性质
二次函数
的符号

草图

开口方向 向上 向下
顶点
坐标 （，） （，）
对称轴 直线X= 直线X=

增减性 x<时，随的增大而减小
x>时，随的增大而增大 x<时，随的增大而增大
x>时，随的增大而减小

最值 当x=时，y有最小值， 当x=时，y有最大值，
平移规律 左加右减，上加下减

二、二次函数的图象与各项系数之间的关系
1、抛物线与轴交点：
（由的值来决定）
与轴总有交点坐标为，；
的值 与轴交点 草图

与轴交点在轴上方

与轴交点为坐标原点

与轴交点在轴下方

2、抛物线与轴交点：（由b2-4ac的值来决定）
求与轴的交点坐标，需解一元二次方程；
判别式 抛物线与轴交点情况 一元二次方程跟的情况
与轴有两个交点

有两个不相等实根
与轴只有一个交点

有两个相等的实数根
与轴无交点

无实数根.

3、对称轴情况：（由a、b的值共同决定）
由、共同决定 对称轴情况 草图
在轴左侧
是轴
轴的右侧
也可由的符号判定：对称轴在轴左边则，在轴的右侧则，概括的说就是“左同右异”
三、二次函数解析式的确定：
①. 一般式：；
②. 顶点式：；
③. 两根式：.
根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：
1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
3. 已知抛物线与轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；
4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．
——————————————————————————————
一元二次函数知识点汇总
1.定义：一般地，如果是常数，，那么叫做的一元二次函数.
2.二次函数的性质
(1)抛物线的顶点是原点，对称轴是轴.
(2)函数的图像与的符号关系：
①当时抛物线开口向上顶点为其最低点；②当时抛物线开口向下顶点为其最高点
3.二次函数 的图像是对称轴平行于(包括重合)轴的抛物线.
4.二次函数用配方法可化成：的形式，其中.
5.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.
①决定抛物线的开口方向：
当时，开口向上；当时，开口向下；越小，抛物线的开口越大，越大，抛物线的开口越小。
②对称轴为平行于轴(或重合)的直线，记作.特别地，轴记作直线.
③定点是抛物线的最值点[最大值(时)或最小值(时)]，坐标为(,)。
6.求抛物线的顶点、对称轴的方法
(1)公式法：，∴顶点是，对称轴是直线.
(2)配方法：运用配方法将抛物线的解析式化为的形式，得到顶点为(,)，对称轴是.
(3)运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以抛物线上纵坐标相等的两个点连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.
★用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失★
7.抛物线中，的作用
(1)决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样.
(2)和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线,故：
①时，对称轴为轴；②时,对称轴在轴左侧；③时,对称轴在轴右侧.
(3)的大小决定抛物线与轴交点的位置.
当时，，∴抛物线与轴有且只有一个交点(0，)：
，抛物线经过原点; ②,与轴交于正半轴；③,与轴交于负半轴.
以上三点中，当结论和条件互换时仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则 .
8. 二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：
①；②；③；④；⑤.
图像特征如下：
函数解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标
当时
开口向上
当时
开口向下 (轴) (0,0)
(轴) (0, )
(,0)
(,)
()

9.用待定系数法求二次函数的解析式
(1)一般式：.已知图像上三点或三对、的值，通常选择一般式.
(2)顶点式：.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.
(3)交点式：已知图像与轴的交点坐标、，通常选用交点式：.
10.直线与抛物线的交点（或称二次函数与一次函数关系）
(1)轴与抛物线得交点为()
(2)与轴平行的直线与抛物线有且只有一个交点(,).
(3)抛物线与轴的交点
二次函数的图像与轴的两个交点的横坐标、，是对应一元二次方程
的两个实数根.抛物线与轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：
①有两个交点抛物线与轴相交；
②有一个交点(顶点在轴上)抛物线与轴相切；
③没有交点抛物线与轴相离.
(4)平行于轴的直线与抛物线的交点
同(3)一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为，则横坐标是的两个实数根.而根的存在情况仍如(3)一样由根的判别式判定。
(5)一次函数的图像与二次函数的图像的交点，由方程组
的解的数目来确定：
①方程组有两组不同的解时与有两个交点;
②方程组只有一组解时与只有一个交点；③方程组无解时与没有交点.
(6)抛物线与轴两交点之间的距离：若抛物线与轴两交点为，由于、是方程的两个根，故由韦达定理知：

11．二次函数与一元二次方程的关系：
(1)一元二次方程就是二次函数当函数y的值为0时的情况．
(2)二次函数的图象与轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、没有交点；当二次函数的图象与轴有交点时，交点的横坐标就是当时自变量的值，即一元二次方程的根．
(3)当二次函数的图象与轴有两个交点时，则一元二次方程有两个不相等的实数根；当二次函数的图象与轴有一个交点时，则一元二次方程有两个相等的实数根；当二次函数的图象与轴没有交点时，则一元二次方程没有实数根
12.二次函数的应用：
(1)二次函数常用来解决最优化问题，这类问题实际上就是求函数的最大(小)值。一般而言，最大(小)值会在顶点处取得，达到最大(小)值时的即为顶点横坐标值，最大(小)值也就是顶点纵坐标值。
(2)二次函数的应用包括以下方面：分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系；
运用二次函数的知识解决实际问题中的最大(小)值．

Answer 2

①一般地，如果y=ax2+bx+c（a，b，c是常数且a≠0），那么y叫做x的二次函数，它是关于自变量的二次式，二次项系数必须是非零实数时才是二次函数，这也是判断函数是不是二次函数的重要依据．
②当b=c=0时，二次函数y=ax2是最简单的二次函数．
③二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的三种表达形式分别为：一般式：y=ax2+bx+c，通常要知道图像上的三个点的坐标才能得出此解析式；顶点式：y=a（x－h）2+k，通常要知道顶点坐标或对称轴才能求出此解析式；交点式：y=a（x－x1）（x－x2），通常要知道图像与x轴的两个交点坐标x1，x2才能求出此解析式；对于y=ax2+bx+c而言，其顶点坐标为（－
，
）．对于y=a（x－h）2+k而言其顶点坐标为（h，k），由于二次函数的图像为抛物线，因此关键要抓住抛物线的三要素：开口方向，对称轴，顶点．
④二次函数y=ax2+bx+c的对称轴为x=－
，最值为
，（k>0时为最小值，k<0时为最大值）．由此可知y=ax2的顶点在坐标原点上，且y轴为对称轴即x=0．
⑤抛物线的平移主要是移动顶点的位置，将y=ax2沿着y轴（上“＋”，下“－”）平移k（k>0）个单位得到函数y=ax2±k，将y=ax2沿着x轴（右“－”，左“＋”）平移h（h>0）个单位得到y=a（x±h）2．在平移之前先将函数解析式化为顶点式，再来平移，若沿y轴平移则直接在解析式的常数项后进行加减（上加下减），若沿x轴平移则直接在含x的括号内进行加减（右减左加）．
⑥在画二次函数的图像抛物线的时候应抓住以下五点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y轴的交点．
⑦抛物线y=ax2+bx+c的图像位置及性质与a，b，c的作用：a的正负决定了开口方向，当a>0时，开口向上，在对称轴x=－
的左侧，y随x的增大而减小；在对称轴x=－
的右侧，y随x的增大而增大，此时y有最小值为y=
，顶点（－
，
）为最低点；当a<0时，开口向下，在对称轴x=－
的左侧，y随x的增大而增大，在对称轴x=－
的右侧，y随x的增大而增大，此时y有最大值为y=
，顶点（－，
）为最高点．│a│的大小决定了开口的宽窄，│a│越大，开口越小，图像两边越靠近y轴，│a│越小，开口越大，图像两边越靠近x轴；a，b的符号共同决定了对称轴的位置，当b=0时，对称轴x=0，即对称轴为y轴，当a，b同号时，对称轴x=－
<0，即对称轴在y轴左侧，垂直于x轴负半轴，当a，b异号时，对称轴x=－
>0，即对称轴在y轴右侧，垂直于x轴正半轴；c的符号决定了抛物线与y轴交点的位置，c=0时，抛物线经过原点，c>0时，与y轴交于正半轴；c<0时，与y轴交于负半轴，以上a，b，c的符号与图像的位置是共同作用的，也可以互相推出．
请采纳，谢谢！

Answer 3

的符号

开口方向

顶点坐标

对称轴

性质

向上

轴

时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．

向下

轴

时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．

2.的性质：
上加下减。

的符号

开口方向

顶点坐标

对称轴

性质

向上

轴

时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．

向下

轴

时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．

3.的性质：
左加右减。

的符号

开口方向

顶点坐标

对称轴

性质

向上

X=h

时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．

向下

X=h

时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．

4.的性质：

的符号

开口方向

顶点坐标

对称轴

性质

向上

X=h

时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．

向下

X=h

时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．