已知数列{an}中，a1=1，a(n+1)=2an+3，数列{bn}中，b1=1，且点(bn+1，bn)，在直线y=x-1上。⑴求数列{an...

Question

已知数列{an}中，a1=1，a(n+1)=2an+3，数列{bn}中，b1=1，且点(bn+1，bn)，在直线y=x-1上。⑴求数列{an}的通项公式;⑵求数列{bn}的通项公式;⑶若cn=an+3，求数列{bncn}的前n项和Sn。

Answer 1

解：（Ⅰ）由a(n+1)=2an+3得a(n+1)+3=2（an+3）
所以{an+3}是首项为a1+3=4，公比为2的等比数列．
所以an+3=4×2^(n-1)=2^(n+1)，故an=2^(n+1)-3
（Ⅱ）因为（b(n+1)，bn）在直线y=x-1上，
所以bn=b(n+1)-1即b(n+1)-bn=1又b1=1
故数列{bn}是首项为1，公差为1的等差数列，
所以bn=n
（Ⅲ）cn=an+3=2^(n+1)-3+3=2^(n+1)故bncn=n•2^(n+1)
所以Sn=1×2^2+2×2^3+3×2^4+…+n•2^(n+1)
故2Sn=1×2^3+2×2^4+…+（n-1）•2^(n+1)+n•2^(n+2)
相减得-Sn=2^2+2^3+2^4+…+2^(n+1)-n•2^(n+2)=4(2^n-1)/(2-1)-n•2^(n+2)=(1-n)2^(n+2)-4
所以Sn=（n-1）•2^(n+2)+4

Answer 2

解：（Ⅰ）由a(n+1)=2an+3得a(n+1)+3=2（an+3）
所以{an+3}是首项为a1+3=4，公比为2的等比数列．
所以an+3=4×2^(n-1)=2^(n+1)，故an=2^(n+1)-3
（Ⅱ）因为（b(n+1)，bn）在直线y=x-1上，
所以bn=b(n+1)-1即b(n+1)-bn=1又b1=1
故数列{bn}是首项为1，公差为1的等差数列，
所以bn=n
（Ⅲ）cn=an+3=2^(n+1)-3+3=2^(n+1)故bncn=n•2^(n+1)
所以Sn=1×2^2+2×2^3+3×2^4+…+n•2^(n+1)
故2Sn=1×2^3+2×2^4+…+（n-1）•2^(n+1)+n•2^(n+2)
相减得-Sn=2^2+2^3+2^4+…+2^(n+1)-n•2^(n+2)=4(2^n-1)/(2-1)-n•2^(n+2)=(1-n)2^(n+2)-4
所以Sn=（n-1）•2^(n+2)+4

Answer 3

（Ⅰ）由an+1=2an+3得an+1+3=2（an+3），由此能求出an．
（Ⅱ）因为（bn+1，bn）在直线y=x-1上，所以bn=bn+1-1即bn+1-bn=1，由此能求出bn．
（Ⅲ）由cn=an+3=2n+1-3+3=2n+1，知bncn=n•2n+1，所以Sn=1×22+2×23+3×24+…+n•2n+1，再由错位相减法能求出Sn．
解答：解：（Ⅰ）由an+1=2an+3得an+1+3=2（an+3）
所以{an+3}是首项为a1+3=4，公比为2的等比数列．
所以an+3=4×2n-1=2n+1，故an=2n+1-3
（Ⅱ）因为（bn+1，bn）在直线y=x-1上，
所以bn=bn+1-1即bn+1-bn=1又b1=1
故数列{bn}是首项为1，公差为1的等差数列，
所以bn=n
（Ⅲ）cn=an+3=2n+1-3+3=2n+1故bncn=n•2n+1
所以Sn=1×22+2×23+3×24+…+n•2n+1
故2Sn=1×23+2×24+…+（n-1）•2n+1+n•2n+2
相减得-Sn=22+23+24+…+2n+1-n•2n+2=4(2n-1)2-1-n•2n+2=(1-n)2n+2-4
所以Sn=（n-1）•2n+2+4