怎么证明连续函数在定义域上处处可导呢？

Question

如题所述

Answer 1

已知f(x)连续，即：对于任意x，均有当x→x0时，f(x)→f(x0)
求证：对于任意x，均有当x→x0时，|f(x)|→|f(x0)|，即|f(x)|连续
证明：
显然0≤||f(x)|-|f(x0)||≤|f(x)-f(x0)|
∵x→x0时，f(x)→f(x0)
∴f(x)-f(x0)→0
∴|f(x)-f(x0)|→0
即：0≤||f(x)|-|f(x0)||≤|f(x)-f(x0)|→0
∴x→x0时，|f(x)|→|f(x0)|，即|f(x)|连续