x∧3sin(1/x),x≠0 设函数f x={

Question

x∧3sin(1/x),x≠0
设函数f x={
0,x=0 证明:（1）fx在x=0处可微,(2)f'x在x=0处不可微

Answer 1

当x属于0的某个去心领域内时，(f(x)-f(0))/(x-0)=x^3sin(1/x)/x=x^2sin(1/x)，当x趋于0时x^2sin(1/x)为有界函数乘无穷小，也趋于0，因此f(x)在x=0处可微，f'(0)=lim (f(x)-f(0))/(x-0)=0。
当x≠0时，f'(x)=3x^2sin(1/x)-xcos(1/x)。
(f'(x)-f'(0))/(x-0)=(3x^2sin(1/x)-xcos(1/x))/x=3xsin(1/x)-cos(1/x)，当x趋于0时3xsin(1/x)为有界函数乘无穷小，趋于0，但cos(1/x)没有极限，因此lim (f'(x)-f'(0))/(x-0)不存在，也即f'(x)在x=0处不可微。

Answer 2

简单计算一下即可，答案如图所示