2.一元二次方程的解法：
（1）·配配·方方·法法：①化一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的二次项系数为1；②移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；③方程两边各加上一次项系数一半的平方；④变形为（x＋p）2＝q的形式，如果q≥0,则方程的根为x＝－p±q√；如果q＜0,则方程无实数根。
（2）·公公·式式·法法：①把一元二次方程整理成一般形式，正确地确定a，b，c的值；②计算b2－4ac的值；③当b2－4ac≥0时，代入求根公式x＝－b±b2－4ac√2a，求出方程的两个实根；当b2－4ac＜0,方程无实数根。
（3）·因因·式式·分分·解解·法法：①把方程右边化为0,左边化为一个多项式；②分解方程左边的多项式，使其成为两个因式的乘积的形式；③使方程左边的两个因式分别为0,将原一元二次方程化为两个一元一次方程；④分别解两个一元一次方程，得到的解为原方程的两个根。任何一个一元二次方程都可以用配方法和公式法来解。根据题目的特点，灵活选择适当的方法解一元二次方程可使运算简便。在以上三种解法中，优先选择顺序依次为：分解因式法→公式法→配方法。
【例2】（2005·北京）用配方法解一元二次方程：x2－4x＋1＝0。
【解析】掌握配方的原理是解方程的关键。∵x2－4x＋1＝0,∴x2－4x＝－1。两边加上一次项系数一半的平方，得：x2－4x＋22＝－1＋22。即（x－2）2＝3,∴x－2＝±3√，∴x＝2±3√。∴x1＝2＋3√，x2＝2－3√题型3用公式法解一元二次方程
【例3】（2005·山西）解方程：3x2－6x＋1＝0。
【解析】找出a，b，c的值，用求根公式求解方程。
∵a＝3,b＝－6,c＝1,∴b2－4ac＝（－6）2－4×3×1＝24＞0,x＝6±24√2×3＝3±6√3。∴x1＝3＋6√3,x2＝3－6√3。
【例5】（2005·南京）在长方形镜面玻璃的四周镶上与它的周长相等的边框，制成一面镜子，镜子的长与宽的比是2：1,已知镜面玻璃的价格是每平方米120元，边框的价格是每米30元，另外制作这面镜子还需加工费45元。设制作这面镜子的总费用是y元，镜子的宽是x米。
（1）求y与x之间的关系式；
（2）如果制作这面镜子共花了195元，求这面镜子的长和宽。
【解析】认真读题，弄懂题意，注意镜子的长与宽，列出方程并解职即可。（1）求y与x之间的关系式是：y＝120×2x×x＋30×2（2x＋x）＋45,即y＝240x2＋180x＋45。（2）当y＝195时，有240x2＋180x＋45＝195,
解这个方程，得x1＝12,x2＝－54（不合题意，舍去）。当x＝12时，2x＝1。
答：这面镜子的长为1m，宽为12m。
四、对应练习
1.（2004·福建）若方程（m－1）x2＋m√x＝1是关于x的一元二次方程，则（）。（A）m≠1（B）m≥0（C）m≥0且m≠1（D）m为任意实数
2.（2004·贵州）用配方法解一元二次方程：2x2－6x－1＝0
3.（2005·武汉）解一元二次方程：x2＋5x＋3＝0
4.（2005·黑龙江）解方程：（x－2√）＝5x（2√－x）
5.（2005·长沙）某通讯器材公司销售一种市场需求较大的新型通讯产品。已知每件产品的进价为40元，每年销售该种产品的总开支（不含进价）总计120万元．在销售过程中发现，年销售量y（万件）与销售单价x（元）之间存在如图所示的一次函数关系。
（1）求y关于x之间的函数关系式；
（2）试写出该公司销售该种产品的年获利z（万元）关于销售单价x（元）的函数关系式（年获利＝年销售额－年销售产品总进价－年总开支）。当销售单价x为何值时，年获利最大？并求出这个最大值；
（3）若公司希望该种产品一年的销售获利不低于40万元，借助（2）中函数的图象，请你帮助该公司确定销售单价的范围。在此情况下，要使产品销售量最大，你认为销售单价应定为多少元？
2007年中考试题分类汇编（一元二次方程）
一、选择题
1、（2007巴中市）一元二次方程 的根的情况为（ ）B
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
2、（2007安徽泸州）若关于z的一元二次方程 没有实数根，则实数m的取值范围是（ ）C
A．m<l B．m>-1 C．m>l D．m<-1
3、（2007四川眉山）一元二次方程x2＋x＋2＝0的根的情况是（ ）C
A．有两个不相等的正根 B．有两个不相等的负根
C．没有实数根 D．有两个相等的实数根
4、（2007四川内江）用配方法解方程 ，下列配方正确的是（ ）A
A． B． C． D．
5、（2007四川内江）已知函数 的图象如图（7）所示，那么关于 的方程 的根的情况是（ ）D
A．无实数根 B．有两个相等实数根
C．有两个异号实数根 D．有两个同号不等实数根
6、（2007广州）关于x的方程 的两根同为负数，则（ ）A
A． 且 B． 且
C． 且 D． 且
7、（2007山东淄博）若关于x的一元二次方程 的两个实数根分别是 ,且满足 .则k的值为（ ）C
（A）－1或 （B）－1 （C） （D）不存在
8、（2007四川成都）下列关于x的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（ ）D
（A）x2＋4＝0 （B）4x2－4x＋1＝0 （C）x2＋x＋3＝0 （D）x2＋2x－1＝0
9、（2007湖南岳阳）某商品原价200元，连续两次降价a％后售价为148元，下列所列方程正确的是（ ）B
A：200(1+a%)2=148 B：200(1－a%)2=148
C：200(1－2a%)=148 D：200(1－a2%)=148
10、（2007湖北荆门）下列方程中有实数根的是（ ）C
（A）x2＋2x＋3＝0 （B）x2＋1＝0 （C）x2＋3x＋1＝0 （D）
11、（2007安徽芜湖）已知关于x 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则m的取值范围是( ) A
A． m＞－1 B． m＜－2 C．m ≥0 D．m＜0
12、（2007湖北武汉）如果2是一元二次方程x2＝c的一个根，那么常数c是（ ）。C
A、2 B、－2 C、4 D、－4
二、填空题
1、（2007重庆）已知一元二次方程 的两根为 、 ，则
2、（2007重庆）方程 的解为 。 ，
3、（2007四川德阳）阅读材料：设一元二次方程 的两根为 ， ，则两根与方程系数之间有如下关系： ， ．根据该材料填空：
已知 ， 是方程 的两实数根，则 的值为______ 10
4、（2007四川眉山）关于x的一元二次方程x2＋bx＋c＝0的两个实数根分别为1和2，则b＝______；c＝______． －3,2
5、（2007浙江温州）方程 的解是 ． ＝0， ＝2
6、（2007湖南怀化）已知方程 有两个相等的实数根，则
7、（2007浙江宁波）方程x2+2x=0的解为 ＝0， ＝－2
8、（2007浙江省萧山中学自主招生考试）已知方程 在实数范围内恒有解，并且恰有一个解大于1小于2，则 的取值范围是 ．
或
9、（2007四川成都）已知x是一元二次方程x2＋3x－1＝0的实数根，那么代数式 的值为＿＿＿＿
10、（2007四川乐山）已知 是关于 的方程 的一个根，则 _______．
或
11、（2007北京）若关于 的一元二次方程 没有实数根，则 的取值范围是 ．
解：△＝4＋4k＜0，解得：k＜－1
12、（2007江苏淮安）写出一个两实数根符号相反的一元二次方程：__________________。
答案不唯一：如
13、（2007安徽芜湖）已知 是一元二次方程 的一个根，则方程的另一个根是 ．
三、解答题
1、（2007北京）解方程： ．
解：配方，得：（x＋2）2＝5，解得：x1＝－2＋ ，x2＝－2－ ，
2、（2007浙江嘉兴）解方程：x2＋3＝3(x＋1)．
解：原方程变为：x2－3x＝0，解得： ＝0， ＝3
3、（2007湖南株州）已知x＝1是一元二次方程 的一个解，且 ，求 的值.
解：把x＝1代入方程，得： ＋ ＝40，又
所以， ＝ ＝ ＝20。
4、（2007湖北天门）已知关于x的一元二次方程x2＋4x＋m－1＝0。
(1)请你为m选取一个合适的整数，使得到的方程有两个不相等的实数根；
(2)设α、β是(1)中你所得到的方程的两个实数根，求α2＋β2＋αβ的值。
解：（1）取m＝1，得方程x2＋4x＝0，它有两个不等实数根： ＝0， ＝－4
（2）α＝0，β＝4，α2＋β2＋αβ＝0＋16＋0＝16
5、（2007安徽省）据报道，我省农作物秸杆的资源巨大，但合理利用量十分有限，2006年的利用率只有30%，大部分秸杆被直接焚烧了，假定我省每年产出的农作物秸杆总量不变，且合理利用量的增长率相同，要使2008年的利用率提高到60%，求每年的增长率。(取 ≈1.41)
解：设我省每年产出的农作物秸杆总量为a，合理利用量的增长率是x，由题意得：
30%a（1＋x）2=60%a，即（1＋x）2=2…………5分
∴x1≈0.41，x2≈－2.41(不合题意舍去)。……7分
∴x≈0.41。
即我省每年秸秆合理利用量的增长率约为41%。………8分
6、（2007四川眉山）黄金周长假推动了旅游经济的发展．下图是根据国家旅游局提供的近年来历次黄金周旅游收入变化图．
(1)根据图中提供的信息．请你写出两条结论；
(2)根据图中数据，求2002年至2004年的“十一”黄金周全国旅游收入平均每年增长的百分率(精确到0．1)
解：（1）①历年春节旅游收入低于“五一”和“十一”旅游收入；
②黄金周旅游收入呈上升趋势。┉┉
（2）设平均每年增长的百分率为x，则300（1＋x）2＝400，
解得： ＝－1＋ ， ＝－1－ （不合题意，舍去），
所以， ＝－1＋ ≈0.155，
答：平均每年增长的百分率为15.5%。
7、（2007四川绵阳）已知x1，x2 是关于x的方程（x－2）（x－m）=（p－2）（p－m）的两个实数根．
（1）求x1，x2 的值；
（2）若x1，x2 是某直角三角形的两直角边的长，问当实数m，p满足什么条件时，此直角三角形的面积最大？并求出其最大值．
解：（1） 原方程变为：x2－（m + 2）x + 2m = p2－（m + 2）p + 2m，
∴ x2－p2－（m + 2）x +（m + 2）p = 0，
（x－p）（x + p）－（m + 2）（x－p）= 0，
即 （x－p）（x + p－m－2）= 0，
∴ x1 = p， x2 = m + 2－p．
（2）∵ 直角三角形的面积为 =
=
= ，
∴ 当 且m＞－2时，以x1，x2为两直角边长的直角三角形的面积最大，最大面积为 或 ．
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