如何证明可导必连续

Question

如题所述

Answer 1

可导必定连续,所以要先证明连续.
x→0时,因为sin1/x有界,x²→0,所以x²sin1/x→0,lim（x→0)
f(x)=0=f(0),所以f（x)在x=0处连续.
而f
′＋(0)=lim（x→0+)(
f(x)－f(0))/(x－0)=lim（x→0+)xsin1/x=0
f
′﹣(0)=lim（x→0﹣)(
f(x)－f(0))/(x－0)=lim（x→0﹣)xsin1/x=0
所以f
′﹣(0)=f
′＋(0),所以f
′(0)存在,因此f（x)在x=0处可导