在数学分析中，可导性与连续性是函数性质的两个基本概念。对于实数函数来说，如果一个函数在某点可导，那么它在该点也是连续的。这是因为可导性在某种程度上比连续性要求更为严格。以下是证明“可导推连续”的几个方法：
定义法： 根据可导的定义，如果函数f(x)在点x=a处可导，则极限
lim
ℎ
𝑡
𝑜
0
𝑓
(
𝑎
+
ℎ
)
−
𝑓
(
𝑎
)
ℎ
hto0
lim
h
f(a+h)−f(a)
存在，记为f'(a)。由极限的性质，当h趋于0时，分子
𝑓
(
𝑎
+
ℎ
)
−
𝑓
(
𝑎
)
f(a+h)−f(a)也趋于0。这意味着无论h趋近于0的方式如何（从左侧或右侧），
𝑓
(
𝑎
+
ℎ
)
−
𝑓
(
𝑎
)
f(a+h)−f(a)都将无限接近于0。换句话说，
[ \lim_{h \to 0^-} [f(a+h)-f(a)] = 0 \quad \text{和} \quad \lim_{h \to 0^+} [f(a+h)-f(a)] = 0, ]
即
lim
𝑥
→
𝑎
−
𝑓
(
𝑥
)
=
𝑓
(
𝑎
)
和
lim
𝑥
→
𝑎
+
𝑓
(
𝑥
)
=
𝑓
(
𝑎
)
,
x→a
−
lim
f(x)=f(a)和
x→a
+
lim
f(x)=f(a),
这正是函数在点x=a处连续的定义。因此，如果函数在某点可导，它在该点也必然连续。
直观理解法：
从几何的角度来看，如果函数在某点可导，意味着在该点的切线存在。而切线的存在表明函数图像在该点附近没有“跳跃”，“断点”或者“垂直断崖”，也就是说函数在该点附近的行为是平顺的，或者说是连续的。
ε-δ语言描述法：
在ε-δ定义下，如果函数f(x)在x=a处可导，则对于任意的ε>0，存在δ>0，使得当|h|<δ时，有
∣
𝑓
(
𝑎
+
ℎ
)
−
𝑓
(
𝑎
)
−
𝑓
′
(
𝑎
)
ℎ
∣
<
𝜀
.
∣f(a+h)−f(a)−f
′
(a)h∣<ε.
取ε不依赖于h的特定值（例如ε=1），我们可以找到对应的δ，这样当|h|<δ时，上述不等式成立。这实际上说明了
lim
ℎ
→
0
𝑓
(
𝑎
+
ℎ
)
=
𝑓
(
𝑎
)
,
h→0
lim
f(a+h)=f(a),
因为我们可以使得|f(a+h)-f(a)|任意小，只要h足够接近0。这正是连续性的定义。
利用反证法： 假设函数f(x)在x=a处可导，但在该点不连续。根据连续性的定义，这意味着存在某个ε>0，对于任何δ>0，都存在h使得|h|<δ但同时|f(a+h)-f(a)|geq ε。然而，这与可导性的定义相矛盾，因为我们总是可以找到一个δ使得当|h|<δ时，|f(a+h)-f(a)-f'(a)h|<ε成立。因此，我们的假设是错误的，所以如果函数在某点可导，它必须在该点连续。
以上这些方法从不同的角度证明了可导性蕴含连续性的结论。这个结论在数学分析中非常重要，因为它提供了一个判断函数在某点是否连续的有用工具。简而言之，如果计算函数在某点的导数是可行的，并且结果存在，那么我们无需进一步检查其连续性，因为它已经由可导性保证了。
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