连续：左右极限存在且相等且等于在该点的函数值。
可导：函数在该点连续，左导数等于右导数。
用反证法。
设lim (x趋于a) f'(x) = L，就是要证 L = f'(a)，那么我们先假设L > f'(a)。
取L' = (L+f'(a)) / 2 > f'(a)，根据函数极限的定义，对于
epsilon = (L-f'(a))/2 > 0，存在一个x的邻域 delta(x)，使得在这个邻域内的任意一个x，都有，
| f'(x) - L | < epsilon, 推出 f'(x) > L - epsilon = L'。
如果f是在x0处可导的函数，则f一定在x0处连续，特别地，任何可导函数一定在其定义域内每一点都连续。反过来并不一定。事实上，存在一个在其定义域上处处连续函数，但处处不可导。
扩展资料：
关于函数的可导导数和连续的关系：
1、连续的函数不一定可导。
2、可导的函数是连续的函数。
3、越是高阶可导函数曲线越是光滑。
4、存在处处连续但处处不可导的函数。
函数在定义域中一点可导需要一定的条件：函数在该点的左右导数存在且相等，不能证明这点导数存在。只有左右导数存在且相等，并且在该点连续，才能证明该点可导。
参考资料来源：百度百科——可导函数
用反证法。
设lim (x趋于a) f'(x) = L，就是要证 L = f'(a)，那么我们先假设L > f'(a)。
取L' = (L+f'(a)) / 2 > f'(a)，根据函数极限的定义，对于
epsilon = (L-f'(a))/2 > 0，存在一个x的邻域 delta(x)，使得在这个邻域内的任意一个x，都有，
| f'(x) - L | < epsilon, 推出 f'(x) > L - epsilon = L'。
然后考虑在a点导数的定义:
lim (x趋于a) [f(x) - f(a)] / (x-a) = f'(a)，
由于当x趋于a时， c也是趋于a的，所以最终，c一定会进入到刚才所说的x的邻域 delta(x)(注意我的epsilon 和邻域都已经取定了，对于固定的一个区间，只要c充分接近a，就一定会进入到这个区间)，到那个时候，就总是有
f'(c) > L'，这样一来，当c趋于a时，由于函数极限的保号性，就有
f'(a) >= L' > f'(a)，这显然是一个矛盾。
扩展资料：
关于函数的可导导数和连续的关系：
1、连续的函数不一定可导。
2、可导的函数是连续的函数。
3、越是高阶可导函数曲线越是光滑。
4、存在处处连续但处处不可导的函数。
左导数和右导数存在且“相等”，才是函数在该点可导的充要条件，不是左极限=右极限（左右极限都存在）。连续是函数的取值，可导是函数的变化率，当然可导是更高一个层次。
函数在某点可导的充要条件是左右导数相等且在该点连续。显然，如果函数在区间内存在“折点”，（如f(x)=|x|的x=0点)则函数在该点不可导。
参考资料:百度百科-可导
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