～～～请教两道““线性代数””的问题

Question

请高人指点.

好的回答有追加！！！
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Answer 1

1、
(1)因为任意的A，B属于S，都有tr(A+B)=tr(A)+tr(B)=0，所以A+B属于S；对任意实数a，tr(aA)=atr(A)=0，所以aA也属于S。
显然，S对加法成交换群，并满足数乘的条件（都是矩阵的性质），因而S是R^(n*n)的子空间。

(2)我们将R^(n*n)中的零元素r分解为S和L中的元素和：
如果有两种分解方法r=s1+l1=s2+l2，那么(s1-s2)+(l1-l2)=0。而s1-s2中的对角元素全为0，所以l1-l2的对角元素全为0；而l1-l2是对角矩阵，所以l1-l2=0。由此推出l1=l2，s1=s2。
因此0元素的分解方法唯一，从而R^(n*n)是S和L的直和。

(3)L是n维的，所以S是n^2-n维的。

2、
(1)因为<A, B>=tr(AB)满足
<aA, B>=tr(aAB)=atr(AB)=a<A, B>，
<A+B, C>=tr((A+B)C)=tr(AC)+tr(BC)=<A, C>+<B, C>，
<A, B>=tr(AB)=tr(BA)=<B, A>，
<A, A>=tr(A^2)>=0，且等号成立仅当A=0，
因此该定义是内积。

(2)S的互补子空间S'满足任意的S中元素s，S'中元素z，都有<s,z>=tr(sz)=0。
考察矩阵sz的第i行第i列的元素aii。显然，由于s和z的任意性，所有的aii都必须为0。
a11=0z11+s12z21+...+s1nzn1=0
所以除了z11外所有的zi1=0。
同理除了z22外所有的zi2=0。
……
于是求得z必为对角矩阵。
因此，S的互补子空间是L的子集。
另一方面，对任意L中的元素l，容易验证tr(sl)=0，所以L是S的互补子空间的子集。
从而，S的互补子空间就是L。

(3)由(2)知，M和M'就是S中的元素和L中的元素，因此M'就是A中对角线的元素组成的对角矩阵，M=A-M'。

Answer 2

好久没有做抽代的题目了，现在拿第二题练一下笔吧！！(注意我严格证明了这个内积定义不合理的，不像有些人想当然认为就是，完全蒙人。但是又很奇怪既然不是怎么会接下来的第二问第三问呢？因为n=2时连反例都找出来了，至于n≥3的情况会不会就有该结论呢这个我就没有细想了)
1. for any pair A,B,let (A,B)=tr(AB),then we have
(1)any α∈K，(αA,B)=tr(αAB)=αtr(AB)=α(A,B)
(2)(A+B,C)=tr((A+B)C)=tr(AC+BC)=tr(AC)+tr(BC)=(A,C)+(B,C)
(3)when K denotation R,we need to check (A,B)=(B,A) that is tr(AB)=tr(BA),let C=AB,D=(BA),then
Cii=∑(AijBji),So tr(AB)=tr(C)=∑(Cii)=∑∑(AijBji) and(j ,i from 1 to n )
Dii=∑(BijAji),So tr(BA)=tr(D)=∑(Dii)=∑∑(BijAji) consider the sum of i first we have tr(BA)=∑∑(AjiBij),change the flow indicators i and j we have tr(BA)=∑∑(AijBji) So (A,B)=(B,A)
(4) for any A ∈R(n×n),we have (A,A)=tr(AA),let B=AA,
then Bii=∑(AijAji),tr(B)=∑(Bii)=∑∑(AijAji) that can not determine (A,A)≥0，for example n=2,A=[2,1;-5,-2]∈R（2×2）,AA=-E,tr(AA)=-2<0,we can also have A∈S, so that can't define an inner product on S,Not to mention R(n×n).

Answer 3

大哥，我用显微镜都看不到啊，楼上的我真佩服啊

Answer 4

看不清题目，请在发一张清楚的图片！