已知函数f(x)=kx²-4x-8在[5,20]上是单调函数，求实数k的取值范围。

Question

麻烦说下解题思路，谢谢。

Answer 1

提示一下，要分类考虑
（1）k=0时，函数退化为一次函数，这时总是单调的
（2）k不等于0时，函数为二次函数。注意顶点的横坐标为2/k
只要[5,20]这个区间，没有穿越顶点的横坐标，就能保证函数是单调的。
也就是要么5》2/k，要么20《2/k追问

怎么推出来的对称轴在2/k上呀？

追答

配方法
kx²-4x-8
=k[x^2-4x/k+(2/k)^2]-4/k -8
=k(x-2/k)^2 -4/k-8
对称轴就是x=2/k
一般来说，对于二次函数y=ax^2+bx+c，对称轴是x=-b/2a

Answer 2

f(x)=4x²-kx-8在[5,20]上具有单调性即对称轴不在[5,20]上k/8>=20或k/8=160或k<=40追问

麻烦说下解题思路，谢谢。

Answer 3

k=0是直线方程，当然是单调函数
k≠0是抛物线 对称轴为x=2/k
只需要[5,20]在对称轴一侧就行,
在对称轴左侧, 2/k>=20 0<k<=1/10
在对称轴右侧, 2/k<=5 K<0或k>=2/5

综上,k的取值范围是k<=1/10或k>=2/5追问

怎么推出来的对称轴在2/k上呀？

Answer 4

f(x)=kx^2-4x-8,
一, 当k不=0时, 对称轴是x=2/k,
(1) 当0<2/k<5时,即k>2/5时, f(x)在[5,20]是单调递增的
(2)当2/k>20时,即0<k<1/10, f(x)在[5,20]是单调递减的
(3)当k<0时, f(x)在[5,20]是单调递减的
二,当 k=0时, f(x)=-4x-8 是一次函数 ,f(x)在[5,20]是递减的
综上, 当k<1/10或k>2/5时,f(x)在[5,20]是单调的追问

怎么推出来的对称轴在2/k上呀？

追答

基础知识 y=ax^2+bx+c (a不=0), 对称轴为x=-b/2a
在本题中 对称轴为x=-(-4)/2k=2/k

Answer 5

1函数f(x)=kx2-4x-8在【5,20】上是单调函数
即指f(x)=kx2-4x-8在【5,20】上要么是增函数，要么是减函数，只能是一种情况，
2当k=0时，函数为y=-4x-8在【5,20】上是单调减函数，
当k≠0时，函数的对称轴为x=-（-4）/2k=2/k
此时只要对称轴为x=-（-4）/2k=2/k不在区间在【5,20】上即可，
即2/k≤5或2/k≥20
解得k
<=
1/10
或者
k
>=
2/5
故综上知k=0或k
<=
1/10
或者
k
>=
2/5
实际改为k
<=
1/10
或者
k
>=
2/5。