第1个回答 2024-04-03
核心思路：以AP为边，做等边三角形APQ（Q在B点方向），显然三角形ABQ和三角形ACP全等。AP=PQ，PC=QB，因此PA+PC+PE=PQ+QB+PE大于等于BE（两点之间距离最短）。
第2个回答 2024-04-06
△ABC和△ECD是等边三角形，
所以△BCE绕C点顺时针旋转60°就与△ACD重合，
AD与BE交于P,如图，P在△ACE内，
所以∠APB=60°，∠BCP=∠BAP,
所以∠APE=120°,A,B,C,P四点共圆，
所以∠APC=180°-∠ABC=120°，
所以∠CPE=360°-∠APE-∠APC=120°。
至此，可知P是△ACE的费马点。
为了说明PA+PC+PE最小，把CP绕C顺时针旋转60°至P',连PP',P'D.
则△CPP'是等边三角形，PP'=CP=CP',∠PCP'=∠CP'P=∠CPP'=60°,
所以∠PCE=∠P'CD,
所以△PCE≌△P'CD,
所以PE=P'D.
∠APC+∠CPP'=180°，
所以A,P,P’三点共线；
同理P,P',D三点共线，
所以PA+PC+PE=AD.
仿上，把P换为另一点Q,则∠AQB,∠BQE,∠EQA中至少有两个不等于120°，于是Q,Q'至少有一点不在AD上，
所以QA+QC+QE=AQ+QQ'+Q'D>AD=PA+PC+PE.
所以△BCE绕C点顺时针旋转60°就与△ACD重合，
AD与BE交于P,如图，P在△ACE内，
所以∠APB=60°，∠BCP=∠BAP,
所以∠APE=120°,A,B,C,P四点共圆，
所以∠APC=180°-∠ABC=120°，
所以∠CPE=360°-∠APE-∠APC=120°。
至此，可知P是△ACE的费马点。
为了说明PA+PC+PE最小，把CP绕C顺时针旋转60°至P',连PP',P'D.
则△CPP'是等边三角形，PP'=CP=CP',∠PCP'=∠CP'P=∠CPP'=60°,
所以∠PCE=∠P'CD,
所以△PCE≌△P'CD,
所以PE=P'D.
∠APC+∠CPP'=180°，
所以A,P,P’三点共线；
同理P,P',D三点共线，
所以PA+PC+PE=AD.
仿上，把P换为另一点Q,则∠AQB,∠BQE,∠EQA中至少有两个不等于120°，于是Q,Q'至少有一点不在AD上，
所以QA+QC+QE=AQ+QQ'+Q'D>AD=PA+PC+PE.
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