极大线性无关组的求法：将向量按列排列写出对应的矩阵。用初等行变化将其化为阶梯型（注意只能用行变化，列变化会改变向量）。在阶梯型中找到非零元，非零元所在的列对应的向量就是极大线性无关组中的向量。
极大线性无关组（maximal linearly independent system）是在线性空间中拥有向量个数最多的线性无关向量组。一个向量组的极大线性无关组是其最本质的部分，对许多问题的研究起着非常重要的作用。如确定矩阵的秩，讨论线性方程组的基础解系等。
极大线性无关组（maximal linearly independent system）是线性空间的基对向量集的推广。设V是域P上的线性空间，S是V的子集。若S的一部分向量线性无关，但在这部分向量中，加上S的任一向量后都线性相关，则称这部分向量是S的一个极大线性无关组。
V中子集的极大线性无关组不是惟一的，例如，V的基都是V的极大线性无关组。它们所含的向量个数（基数）相同。V的子集S的极大线性无关组所含向量的个数（基数），称为S的秩。只含零向量的子集的秩是零。V的任一子集都与它的极大线性无关组等价。
当S等于V且V是有限维线性空间时，S的秩就是V的维数。向量组的极大线性无关组是不唯一的，但其极大线性无关组中所含向量的个数是唯一的，并将其称为该向量组的秩。由于矩阵的秩就是该矩阵的行向量组或列向量组的极大线性无关组所含向量的个数。
线性方程组解的结构：
矩阵的初等变换可以反映用消元法解线性方程组的实质, 初等变换的结果是去掉了原方程组多余的方程, 以此确定相应方程组中独立的方程个数, 使得线性方程组的结构更加清晰。
从线性相关性的角度就是确定线性方程组对应的增广矩阵的行向量组以及列向量组的极大线性无关组, 行向量组的极大线性无关组确定独立方程的个数, 列向量组的极大线性无关组确定线性方程组解的结构。