定积分的应用弧长公式是L=∫[a,b]√（1+（dy/dx)²)dx。
设有一条曲线y=f（x），我们希望求解曲线上两点之间的弧长。我们可以将曲线分割成许多小段，每一小段可以看作是一条直线段，然后计算每一小段的长度，最后将所有小段的长度相加即可得到整个曲线的弧长。
假设曲线上两点的坐标分别为（x1,y1)和（x2,y2），我们可以将曲线分割成 n 段，每一段的长度为Δs，即Δs=√（（Δx）²+（Δy）²），其中Δx=x2-x1，Δy=y2-y1。
我们可以将Δs近似地表示为Δs≈√（1+（dy/dx）²）Δx，其中dy/dx是曲线在该点的斜率。当我们将曲线分割得足够小，n趋近于无穷大时，Δs近似地等于曲线上两点之间的弧长ds。
我们可以通过求解定积分来得到整个曲线的弧长。将曲线分割成无穷小的小段，每一小段的长度为ds，然后将所有小段的长度相加即可得到整个曲线的弧长：L=∫[a,b]ds。
其中a和b是曲线上的两个点，L是曲线的弧长。
我们可以将ds表示为ds=√（1+（dy/dx）²）*dx，然后将其代入上述积分式中，得到：L=∫[a,b]√（1+(dy/dx）²）dx。
数学的好处
1、数学是一切科学的基础，一切重大科技进展无不以数学息息相关。没有了数学就没有电脑、电视、航天飞机，就没有今天这么丰富多彩的生活。
2、数学是一种工具学科，是学习其他学科的基础，同时还是提高人的判断能力、分析能力、理解能力的学科。
3、数学不仅是一门科学，而且是一种普遍适用的技术。它是科学的大门和钥匙，学数学是令自己变的理性的一个很重要的措施，数学本身也有自身的乐趣。
4、数学能让思考任何问题的时候都比较缜密，而不至于思绪紊乱。还能使脑子反映灵活，对突发事件的处理手段也更理性。
5、数学给予人们的不仅是知识，更重要的是能力，这种能力包括观察实验、收集信息、归纳类比、直觉判断、逻辑推理、建立模型和精确计算。这些能力和培养，将使人终身受益。