一、本质不同
1、极限：某一个函数中的某一个变量，在不断变化的过程中逐渐接近于某个值A。它不可能与a相吻合（“不等于a，但等于a”足以获得高精度的计算结果）。
这个变量的变化被人为地定义为“永远靠近而不停止”。它的趋势是“不断地极为靠近A点的趋势”。
2、有界：如果有两个常数m和M，函数y=f（x），x∈D 满足m≤f(x)≤M,x∈D，函数y=f（x）有界于d，其中m为下界，M为上界。
二、几何中的应用不同
1、有界
（1）函数在某区间上不是有界就是无界，二者必属其一；
（2）从几何学的角度很容易判别一个函数是否有界。如果找不到两条与x轴平行的直线使得函数的图形介于它们之间，那么函数一定是无界的。
2、极限
当n>N时，均有不等式|xn-a|<ε成立”意味着：所有下标大于N的Xn都落在(a-ε，a+ε)内；而在(a-ε，a+ε)之外，数列{xn} 中的项至多只有N个（有限个）。
换句话说，如果存在某 ε0>0，使数列{xn} 中有无穷多个项落在(a-ε0，a+ε0) 之外，则{xn} 一定不以a为极限。
扩展资料：
极限的由来：
与所有科学的思维方法一样，极限思想也是社会实践头脑中抽象思维的产物。极限的思想可以追溯到古代。例如，祖国刘徽的割圆术是在研究直观图形的基础上，对极限思想的原始可靠的“不断靠近”的极限思想的应用。
古希腊人的穷竭法也包含着极限的思想，但由于希腊人对无限的恐惧，避免明显地人为“取极限”，而是借助于间接证法——归谬法来完成了有关的证明。
参考资料来源：百度百科-有界
参考资料来源：百度百科-极限
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