设a=(2,5,-1),b=(1,3,2),问λ与μ有怎样的关系_____,λa+μb与z轴垂直？

Question

设a=(2,5,-1),b=(1,3,2),问λ与μ有怎样的关系,λa+μb与z轴垂直。

Answer 1

首先，我们可以计算出向量a和向量b在z轴方向上的投影为0，即它们与z轴垂直。具体来说，向量a在z轴的投影为-1，向量b在z轴的投影为2，因此它们在z轴方向上的投影和为-1+2=1-1=0。

然后，我们可以设向量λa+μb与z轴的夹角为θ，则有：

cosθ = (λa+μb)·(0,0,1) / |λa+μb|

其中，· 表示点乘，|λa+μb| 表示向量 λa+μb 的模长。

由于向量 a 和向量 b 不共线，因此向量 λa+μb 与向量 a 和向量 b 都不共线。因此，向量 λa+μb 不为零向量，即 |λa+μb| ≠ 0。又因为向量 λa+μb 与 z 轴垂直，因此它在 z 轴方向上的分量为 0，即 (λa+μb)·(0,0,1) = 0。

因此，我们可以得到：

cosθ = 0 / |λa+μb| = 0

因此，θ = π/2 或其倍数。也就是说，向量 λa+μb 与 z 轴的夹角为 90 度或其倍数。

综上所述，向量 λa+μb 与 z 轴垂直的充分必要条件是 λa+μb 与向量 a 和向量 b 线性无关。也就是说，λa+μb 不能表示成 a 和 b 的线性组合，即它们之间不存在线性关系。

设 λa+μb=k(1,0,0)，则由于向量 a 和向量 b 不在 x 轴上，因此 λa+μb 不能表示成 a 和 b 的线性组合，因此 k=0，即 λa+μb=(0,y,z)，其中 y 和 z 是非零实数。

因此，λa+μb 与 z 轴垂直的充分必要条件是：

λa+μb 不能表示成 a 和 b 的线性组合，即它们之间不存在线性关系。

向量 λa+μb 在 x 轴方向上的分量为 0，即 λa+μb=(0,y,z)，其中 y 和 z 是非零实数。

Answer 2

向量垂直，则两个向量之间的点乘等于0，详细过程请见图片了

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Answer 3

两个向量垂直，则其点乘之积为0.
λa+μb
=λ(2,5,-1)+μ(1,3,2)
=(2λ+μ,5λ+3μ,-λ+2μ)
z轴可用单位向量表示为：z(0,01),则：
0*(2λ+μ)+0*5λ+3μ-λ+2μ=0
所以-λ+2μ=0
即：λ=2μ。

Answer 4

设a=(2,5,-1),b=(1,3,2),问λ与μ有怎样的关系_____,λa μb与z轴垂直？

答：λ与μ满足方程2λ 1μ=0，即λ=-1/2μ；λa μb=(-1/2μ,5-3/2μ, -1 2/2μ)，当(-1/2,-3/4, 1)垂直于z轴时，有得到的式子成立。

Answer 5

两个向量垂直
则其点乘之积为0
而这里与z轴垂直
则λa+μb的z坐标值为0即可
λa+μb
=λ(2,5,-1)+μ(1,3,2)
=(2λ+μ,5λ+3μ,-λ+2μ)
于是得到-λ+2μ=0
即λ=2μ