z变换的初值定理和终值定理

Question

如题所述

Answer 1

Z变换的初值定理和终值定理的定义：对于因果序列x[n], 如果知道它存在z变换X(z)， 那么初值定理告诉我们， x[0]等于X(z)在z趋向于无穷大时的极限。 终值定理告诉我们， 如果x[n]在n趋向于无穷大时， 极限存在，即序列的终值存在的话， 那么改终值等于函数(z-1)X(z)， z趋向于1的极限。具体的表达式如下图：

此外，二者都有相应的应用条件限制：

1.初值定理是针对因果序列 x [ n ] ，即当 n < 0 时， x [ n ] = 0 。它的 z 变换中不包含有 z 的正幂次项。如果 X ( z ) 是有理分式， 则要求它的分子多项式阶次小于等于分母多项式的阶次。

2.在应用终值定理之前，需要判断 X ( z ) 对应的序列 x [ n ]  在 n 趋向于无穷远时， 存在极限。 这要求 X ( z )所有的极点都位于单位圆内， 如果在单位圆上存在极点， 也只能再 z = 1 处存在一个一阶极点。