核与核像的直和是什么意思？

Question

如题所述

Answer 1

1. 两个子空间的和是直和等价于二者的交只有零向量。
2. 核像是直和等价于：若Y满足AY = 0，同时存在X使Y = AX，则有Y = 0。
3. 等价于：若A²X = 0，则AX = 0。由于AX = 0的解总是A²X = 0的解，上述条件进一步等价于二者同解。
4. 等价于r(A) = r(A²)。学了Jordan标准型就会知道，这一条件等价于0特征值的Jordan块都是1阶的。
5. 或者说0特征值的几何重数等于代数重数。作为特例，可对角化的矩阵的所旁祥有特征值的几何重数都等于代数重数，因此核和像是直和。
6. 直接证明也不难，因为对角矩阵显然满足r(A) = r(A²)，而相似变换不改变秩。
7. 作为特例中的特例，实对称阵是可对角化的，结论同样成立。
8. 补一个证明。命题：A为n阶方阵，则其0特征值的几何重数等于代数重数的充要条件为r(A) = r(A²)。
9. 证明：∵A²的特征值对应为A的特征值的平方，∴A²和A的0特征值的代数重数相等。
10. ∵AX = 0的解总是A²X = 0的解，∴0对A的几何重数 ≤ 0对A²的几何重数 ≤ 0对A²的代数重数 = 0对A的代数重数。
11. 若0对A的几何重数 = 0对A的代数重数，有0对运键搏A的几何重数 = 0对A²的几何重数，可得r(A) = r(A²)。
12. 而若r(A) = r(A²)，全空间等于A的核和像的直和，且二者均为A的不变子空间。
13. A的特征多项式等于在二者限制的特征多项式的乘积。
14. 但∵A在像空间上亮睁的限制可逆，无0特征值。
15. ∴0对A的的代数重数 ≤ 核的维数 = 0对A的几何重数。
16. 又0对A的几何重数 ≤ 0对A的代数重数。
17. 故二者相等。