满射的合成仍是满射怎么证明？

Question

如题所述

Answer 1

在数学中，满射（又称为“满足性映射”或“陪域等于到达域的映射”）是集合论和函数论中的一个基本概念。如果一个函数在其值域中的每个元素都至少有一个变量与之对应，则该函数被称为满射。现在要证明的是，如果两个函数分别是满射，它们的合成（即复合函数）仍然是满射。
为了证明这一点，我们需要使用一些基本的集合论和逻辑推理。假设我们有两个函数 f: A → B 和 g: B → C，其中 A、B 和 C 是任意集合，并且 f 和 g 都是满射。我们要证明的是，复合函数 (g ∘ f): A → C，定义为 (g ∘ f)(x) = g(f(x)) 对于所有 x ∈ A，也是满射。
证明如下：
首先，由于 f 是满射，对于 B 中的任意元素 b，都存在 A 中的至少一个元素 a 使得 f(a) = b。
同理，由于 g 是满射，对于 C 中的任意元素 c，都存在 B 中的至少一个元素 b 使得 g(b) = c。
现在考虑 C 中的任意元素 c。因为 g 是满射，所以存在一个元素 b ∈ B 使得 g(b) = c。
接着，因为 f 是满射，所以存在一个元素 a ∈ A 使得 f(a) = b。
因此，我们可以设置 (g ∘ f)(a) = g(f(a)) = g(b) = c。
这意味着对于 C 中的每个元素 c，我们都找到了 A 中的一个元素 a，使得 (g ∘ f)(a) = c。
因此，对于 C 中的每个元素，都有来自 A 的元素在复合函数 (g ∘ f) 下的前像（preimage），这表明 (g ∘ f) 的值域覆盖了整个集合 C。
所以，复合函数 (g ∘ f) 是满射。
这个证明依赖于两个关键点：首先是 f 和 g 作为满射的性质，其次是复合函数 (g ∘ f) 的定义。通过逻辑地链接这两点，我们可以得出复合函数仍然是一个满射的结论。这个证明不仅展示了结果的正确性，而且还揭示了满射性质在函数组合时的传递性。这种传递性是抽象代数中许多结构性质的共同特点，例如群、环、场等结构的同态性质。