如何证明满射的复合还是满射？

Question

如题所述

Answer 1

要证明满射的复合还是满射，我们需要先理解满射（又称“满足性函数”或“陪域等于到达域的函数”）的定义：如果一个函数的值域等于其到达域，则该函数是满射的。对于两个函数 f 和 g，其复合函数记为 (f∘g)，定义为 (f∘g)(x) = f(g(x))。
现在，假设我们有两个函数 f 和 g，其中 g 是从一个集合 X 到集合 Y 的满射，而 f 是从集合 Y 到集合 Z 的满射。我们需要证明的是，复合函数 f∘g 是从集合 X 到集合 Z 的满射。
证明如下：
首先，由于 g 是满射，对于集合 Y 中的每个元素 y，都存在至少一个元素 x 属于集合 X，使得 g(x) = y。换句话说，g 的值域（即它的像）覆盖了集合 Y 的所有元素。
其次，因为 f 也是满射，对于集合 Z 中的每个元素 z，都存在至少一个元素 y 属于集合 Y，使得 f(y) = z。这意味着 f 的值域覆盖了集合 Z 的所有元素。
现在考虑复合函数 f∘g。对于任意的元素 z 属于集合 Z，我们需要找到一个元素 x 属于集合 X，使得 (f∘g)(x) = z。
因为 f 是满射，对于元素 z，存在一个元素 y 属于集合 Y 使得 f(y) = z。这个元素 y 是由 g 映射得到的，因为 g 是满射，所以存在一个元素 x 属于集合 X 使得 g(x) = y。
将上述两步结合起来，我们得到：
存在 x ∈ X 使得 g(x) = y
存在 y ∈ Y 使得 f(y) = z
因此，复合函数 (f∘g)(x) = f(g(x)) = f(y) = z
由步骤 5 可知，对于集合 Z 中的任意元素 z，我们都能通过选择合适的 x ∈ X 来得到 (f∘g)(x) = z。这表明复合函数 f∘g 的值域覆盖了整个集合 Z，即 f∘g 是满射。
结论：因此，我们证明了如果函数 f 和 g 分别是满射，那么它们的复合 f∘g 也是满射。这完成了我们的证明。