r^2+4r+4=0；r1=r2=-2；则通解y=(c1+c2X)e^-2x。
微分方程是数学方程，用来描述某一类函数与其导数之间的关系，在初等数学的代数方程里，其解是常数值。微分方程可分为常微分方程及偏微分方程。它在化学、工程学、经济学和人口统计等领域应用广泛。
偏微分方程（PDE）是指一微分方程的未知数是多个自变数的函数，且方程式中有未知数对自变数的偏微分。偏微分方程的阶数定义类似常微分方程，但更细分为椭圆型、双曲线型及抛物线型的偏微分方程，尤其在二阶偏微分方程中上述的分类更是重要。
有些偏微分方程在整个自变数的值域中无法归类在上述任何一种型式中，这种偏微分方程则称为混合型。
特征方程为：
r2+4r=0
r(r+4)=0
所以r1=0，r2=-4.
则y*=c1e^0+c2e^-4x
=c1+c2e^-4x
设y1=ax，
则y1'=a, y''=0
所以0+4a=8，即a=2
所以方程的通解为：y=c1+c2e^-4x+2x。
微分方程研究的来源：
它的研究来源极广，历史久远。牛顿和G.W.莱布尼茨创造微分和积分运算时，指出了它们的互逆性，事实上这是解决了最简单的微分方程y'=f(x)的求解问题。当人们用微积分学去研究几何学、力学、物理学所提出的问题时，微分方程就大量地涌现出来。
牛顿本人已经解决了二体问题：在太阳引力作用下，一个单一的行星的运动。他把两个物体都理想化为质点，得到3个未知函数的3个二阶方程组，经简单计算证明，可化为平面问题，即两个未知函数的两个二阶微分方程组。用叫做“首次积分”的办法，完全解决了它的求解问题。
17世纪就提出了弹性问题，这类问题导致悬链线方程、振动弦的方程等等。总之，力学、天文学、几何学等领域的许多问题都导致微分方程。20世纪以来，随着大量的边缘科学诸如电磁流体力学、化学流体力学、动力气象学、海洋动力学、地下水动力学等等的产生和发展，也出现不少新型的微分方程（特别是方程组）。
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r(r+4)=0
所以r1=0，r2=-4.
则y*=c1e^0+c2e^-4x
=c1+c2e^-4x.
设y1=ax，
则y1'=a,
y''=0.
所以0+4a=8，即a=2.
所以方程的通解为：y=c1+c2e^-4x+2x.
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