求求矩阵最大特征值和对应特征向量

Question

A= 1 1/2 1/4 2 1 1/7 4 7 1 要具体计算过程，不要软件算的

Answer 1

我来写吧，过程如下：

设矩阵特征值为m

求m*I-A的行列式等于0时的m的解：（I为单位矩阵）

即：|m-1   -1/2  -1/4  ;   -2  m-1  -1/7  ;  -4  -7  m-1 |=0

即：(m-1)^3+(-1/2)*(-1/7)*(-4)+(-1/4)*(-2)*(-7)-(-1/4)*(-4)*(m-1)-(-2)*(-1/2)*(m-1)-(m-1)*(-7)*(-1/7)=0

求得：m1=3.1769 ;    m2=-0.0885 + 0.7445i;  m3= -0.0885 - 0.7445i

特征值m1,m2,m3，由于其中两个是复数，复数不能比较大小(除非是模)，故能比较大小的只有m1,因此所谓的最大的特征值也就是m1（就算是比较模的大小，也是m1最大）,为3.1769

求特征矢量，由于以上特征值没有重根，因此所有的特征矢量都可以表示为：AP=mP

对每一个m，分别求出一个3*1阶的列矩阵，例如，对于m1=3.1769,设列矢量P=[P1;P2;P3]，因此

               [P1]      [1   1/2  1/4]     [P1]

3.1769 *  [P2]  =  [2     1   1/7] *  [P2] 

               [P3]      [4      7   1  ]     [P3] 

以上方程的解不唯一，也就是特征向量不唯一，所有的特征向量都可以表示成P=N*P‘，N为实数，也就是所有特征向量之间都是线性相关，随便取一组解都可以，不影响最后的状态转移矩阵

为了以后方便，把所有的特征向量都归一化，即使得特征向量的模的值为1，也就是P1^2+P2^2+P3^2=1的一组解，以下为特征向量（都是列矢量）

m1对应的特征向量：[ 0.1589; 0.2093; 0.9649]

m2对应的特征向量：[0.0794 + 0.1376i; 0.1046 - 0.1812i ;-0.9649 ]

m3对应的特征矢量：[0.0794 - 0.1376i ; 0.1046 + 0.1812i;-0.9649]

因此变换矩阵为：

   0.1589             0.0794 + 0.1376i       0.0794 - 0.1376i
   0.2093             0.1046 - 0.1812i        0.1046 + 0.1812i
   0.9649            -0.9649                       -0.9649    

      

Answer 2

第一步：计算特征多项式
第二步：求出特征多项式等于零的全部根，得全部特征值。然后比较大小
第三步：对于每个特征值，求出齐次线性方程组为零的一个基础解系，进而得到全部特征向量
因为是新手，不会打那些符号，所以具体不给你算了，就是这个步骤，希望帮助到你。追问

我需要的就是那些公式和算出来的数

追答

可惜不会打，比如特征多项式是绝对值里面是拉姆达乘以单位矩阵再减去你的矩阵，然后令他等于零，求出来的拉姆达就是你的特征值。只能解释到这了。。。