求积分∫e^(-x^2/2) dx

Question

∫e^(-x^2/2) dx
求详细过程和答案，万分感谢

Answer 1

结果为：B/2 = √π /2

解题过程如下：

设原积分等于A

∵  B＝ ∫ e^(-x^2)dx 积分区间为负无穷到正无穷

∵ B＝ ∫ e^(-y^2)dy 积分区间为负无穷到正无穷

又，被积函数e^（-x^2）在正负无穷上偶函数

∴A=B/2

∴B^2= (∫ e^(-x^2)dx)*(∫ e^(-y^2)dy) = ∫ ∫ e^(-(x^2+y^2))dx dy

将上述积分化到极坐标中

∴ x^2+y^2=r^2

∫ ∫ e^(-(x^2+y^2))dx dy = ∫ ∫ r e^(-r^2)dr dθ r从0到正无穷，θ从0到2π

= ∫ 1/2 dθ θ从0到2π= π

∴B＝√π

∴B/2 = √π /2

扩展资料

求函数积分的方法：

设f（x）是函数f（x）的一个原函数，我们把函数f（x）的所有原函数F（x）+C（C为任意常数）叫做函数f（x）的不定积分，记作，即∫f（x）dx=F（x）+C。

其中∫叫做积分号，f（x）叫做被积函数，x叫做积分变量，f（x）dx叫做被积式，C叫做积分常数，求已知函数不定积分的过程叫做对这个函数进行积分。

若f（x）在[a,b]上恒为正，可以将定积分理解为在Oxy坐标平面上，由曲线（x，f（x））、直线x=a、x=b以及x轴围成的面积值（一种确定的实数值）。

积分的一个严格的数学定义由波恩哈德·黎曼给出。黎曼的定义运用了极限的概念，把曲边梯形设想为一系列矩形组合的极限。

路径积分是多元函数的积分，积分的区间不再是一条线段（区间[a,b]），而是一条平面上或空间中的曲线段；在面积积分中，曲线被三维空间中的一个曲面代替。对微分形式的积分是微分几何中的基本概念。

如果一个函数的积分存在，并且有限，就说这个函数是可积的。一般来说，被积函数不一定只有一个变量，积分域也可以是不同维度的空间，甚至是没有直观几何意义的抽象空间。

Answer 2

∫e^(X^2)dx 

=(1/2)∫e^(X^2)dX^2

令x^2=t

=(1/2)∫e^tdt

=(e^t)/2

=[e^(X^2)]/2

扩展资料：

不定积分的积分公式主要有如下几类：含ax+b的积分、含√（a+bx）的积分、含有x^2±α^2的积分、含有ax^2+b（a>0）的积分、含有√（a²+x^2） （a>0）的积分、含有√（a^2-x^2） （a>0）的积分、含有√（|a|x^2+bx+c） （a≠0）的积分、含有三角函数的积分、含有反三角函数的积分、含有指数函数的积分、含有对数函数的积分、含有双曲函数的积分。 

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Answer 3

这是高斯积分公式， 

这个貌似没有原函数，它最开始是用双重积分算出来的

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Answer 4

提供以下过程求解indefinite integral（不定积分）
供参考（方法相同）
First, you need to separate the fraction:
∫ (e^x +1) / (e^x -1) dx = ∫ (e^x / (e^x -1) + 1 / (e^x -1)) dx
. . . . . . . . . . . . . . . . = ∫ e^x / (e^x -1) dx + ∫ 1 / (e^x -1) dx

For first integral use substitution:
u = e^x -1
du = e^x dx
For second integral use substitution:
t = e^x
dt = e^x dx
dx = dt/e^x = dt/t

∫ (e^x +1) / (e^x -1) dx = ∫ 1/u du + ∫ 1 / ((t-1)t) dt
. . . . . . . . . . . . . . . . = ∫ 1/u du + ∫ (1/(t-1) - 1/t) dt . . . . using partial fractions
. . . . . . . . . . . . . . . . = ∫ 1/u du + ∫ 1/(t-1) dt - ∫ 1/t dt
. . . . . . . . . . . . . . . . = ln(u) + ln(t-1) - ln(t) + C

Substituting back we get:

∫ (e^x +1) / (e^x -1) dx = ln(e^x -1) + ln(e^x -1) - ln(e^x) + C
. . . . . . . . . . . . . . . . = ln(e^x -1) -½ ln(e^x) + ln(e^x -1) - ½ ln(e^x) + C
. . . . . . . . . . . . . . . . = 2 (ln(e^x -1) -½ ln(e^x)) + C
. . . . . . . . . . . . . . . . = 2 (ln(e^x -1) - ln(e^(x/2))) + C
. . . . . . . . . . . . . . . . = 2 ln((e^x -1)/e^(x/2)) + C
. . . . . . . . . . . . . . . . = 2 ln(e^(x/2) -e^(-x/2)) + C

Answer 5

这个积分是没有定积分的，还记得正态分布的密度函数吗？如果题目中积分的区间为已知的常数或无穷时，带入正态分布密度函数f(u,t平方)=1/(t*根号(2pi))*e^(-((x-u)^2)/(t^2))，u为期望值，t为标准差，按照上题，积分函数为f（0，2），若积分区间[a,b]，设正态分布函数为F（x），
原式=根号（2*pi*t平方）*（F(b)-F(a)）=根号（2*pi*2）*（F(b)-F(a)）, 其中记住特殊值F（正无穷）-F（负无穷）=1 ， F（正无穷）-F（0）=F（0）-F（负无穷）=0.5