x的平方求导数为什么是2x？

Question

如题所述

Answer 1

深入解析：为何x²的导数是2x？
导数，数学中的灵魂所在，是函数变化率的精确度量。对于函数f(x)，其导函数f'(x)的定义，就是当δ（微小变化量）趋近于0时，函数值的瞬时变化率，即[f(x+δ) - f(x)]/δ的极限，如果这个极限存在的话。当我们研究f(x) = x²这个经典的二次函数时，这个过程尤为直观。

首先，让我们一步步来计算。当f(x)等于x的平方时，我们有：

[(f(x+δ) - f(x)) / δ] = [(x+δ)^2 - x^2] / δ

展开计算，我们得到：

= [(x^2 + 2δx + δ^2) - x^2] / δ

= (2δx + δ^2) / δ

简化这个表达式，我们得到：

= 2x + δ

当δ趋向于零，这个表达式就简化为：

2x + δ → 2x

正是这个极限，揭示了x²在每一个点的瞬时变化率恒定为2x。因此，我们可以得出结论，函数x²的导函数的确就是2x，这就是微积分中的神奇之处，它揭示了函数在每一点的“瞬时速度”。

这个简单的例子展示了导数理论在实际问题中的应用，不仅加深了我们对函数变化的理解，也为我们探索更复杂的函数提供了基础。记住，任何函数的导数都隐藏着它在微小变化下的行为秘密。