z=f(x^2+y^2)的二阶偏导数是什么？

Question

如题所述

Answer 1

计算过程如下：

z=xf(x^2+y^2)

dz=f(x^2+y^2)dx+xf'(x^2+y^2)(2xdx+2ydy)

dz=[f(x^2+y^2)+2x^2f'(x^2+y^2)]dx+2xyf'(x^2+y^2)dy

dz/dx=f(x^2+y^2)+2x^2f'(x^2+y^2)

d^2z/dxdy=2yf'(x^2+y^2)+2x^2f''(x^2+y^2)2y

=2yf'(x^2+y^2)+4x^2yf''(x^2+y^2)

几何意义：

偏导数 f'x(x0,y0) 表示固定面上一点对 x 轴的切线斜率；偏导数 f'y(x0,y0) 表示固定面上一点对 y 轴的切线斜率。

高阶偏导数中，如果二元函数 z=f(x,y) 的偏导数 f'x(x,y) 与 f'y(x,y) 仍然可导，那么这两个偏导函数的偏导数称为 z=f(x,y) 的二阶偏导数。二元函数的二阶偏导数有四个：f"xx，f"xy，f"yx，f"yy。

不是所有的函数都有导数，一个函数也不一定在所有的点上都有导数。若某函数在某一点导数存在，则称其在这一点可导，否则称为不可导。然而，可导的函数一定连续；不连续的函数一定不可导。

若导数大于零，则单调递增；若导数小于零，则单调递减；导数等于零为函数驻点，不一定为极值点。需代入驻点左右两边的数值求导数正负判断单调性。

Answer 2

简单计算一下即可，答案如图所示