简谐运动微分方程的怎样推导？

Question

如题所述

Answer 1

简谐运动特征及表式:1F=-kx（回复力）
2
d^2x/dt^2=-(k/m)x
取k/m=w^2
所以d^2x/dt^2=-（w^2）x
d^2x/dt^2+（w^2）x=0
。
x''=-w^2x
r^2=-1,所以r=+-wi,通解
x=c1coswt+c2sinwt=Ccos(wt+fai),带入振幅A，C=A,得
x=Acos(wt+φ)

Answer 2

用牛顿第二定律列方程：
f=ma
其中f为弹力，遵守胡克定律f=-kx，x为位移；m为质量，式中为常数；a为x的二阶导数。即：
-kx=m(d²x/dt²)
整理成标准形式的二阶线性微分方程：
(d²x/dt²)+(k/m)x=0
其特征方程为：r²+(k/m)=0
解得特征根为：±√(k/m)i………………i为虚数单位
故微分方程的通解为：
acos[t√(k/m)]+bsin[t√(k/m)]………………a和b为任意常数，由初始位置和速度决定
或者写成单三角函数的形式：
acos(ωt+φ)………………其中ω=√(k/m)