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已知函数f(x)=2sin2(π4+x)-3cos2x(Ⅰ)求f(x)的周期和单调递增区间(Ⅱ)若关于x的方程f(x)-m=
已知函数f(x)=2sin2(π4+x)-3cos2x(Ⅰ)求f(x)的周期和单调递增区间(Ⅱ)若关于x的方程f(x)-m=2在x∈[π4,π2]上有解,求实数m的取值范围.
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推荐答案 2014-10-21
(I)∵f(x)=2sin
2
(
π
4
+x)-
3
cos2x
=1-cos(
π
2
+2x)-
3
cos2x
=1+sin2x-
3
cos2x
=2sin(2x-
π
3
)+1.(1分)
∴周期T=π;(1分)
令2kπ-
π
2
≤2x-
π
3
≤2kπ
+
π
2
,解得kπ-
π
12
≤x≤kπ
+
5π
12
,
∴单调递增区间为[kπ-
π
12
,kπ
+
5π
12
],(k∈Z).(2分)
(II)∵x∈[
π
4
,
π
2
],所以2x-
π
3
∈[
π
6
,
2π
3
],
∴sin(2x-
π
3
)∈[
1
2
,1],
所以f(x)的值域为[2,3],(4分)
而f(x)=m+2,所以m+2∈[2,3],即m∈[0,1](4分)
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=2π2=
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