高一数学函数问题，已知二次函数fx=ax²+bx，f2=0 且方程fx=x有等根

Question

已知二次函数fx=ax²+bx，f2=0 且方程fx=x有等根
1.求fx解析式
2.是否存在常数p，q(p小于q)，使fx的定义域和值域分别是[p,q]和[2p,2q]，如存在，求出p，q的值，如果不存在，说明理由。
第一问不用做。主要是第二问。谢谢了。

Answer 1

可以有简单方法，不用讨论，根据最大值限制p,q的范围。
不存在。
1. 函数的对称轴 x=1
函数f(x)的最大值为(4ac-b^2)/4a=1/2
所以2p<1/2 ,2q<1/2 即p<1/4 ,q <1/4
所以p<q<1/4<1 即，[p,q]为单调递增区间
所以，f(p)=2p, f(q)= 2q
即， p,q为函数f(x)=x的两根（p<q）
解得p=q=0与p<q矛盾 所以不存在

Answer 2

这个只要讨论，当p，q在对称轴一边时，利用单调性解二元一次方程，两边时，较为复杂，最大值就是顶点也是2q，q求出后，要讨论p，q拿个离对称轴近，最后应算出4组解，但算出后，不要忘了检验

Answer 3

见图片