证明:若f（x）为可导的奇函数，则f'(x)为偶函数。并问其逆命题是否成立

如题所述

推荐答案 2020-02-13

其逆命题不成立
例如f'(x)=3x^2是偶函数
而此时原函数f（x）=x^3+1（此时f(x)是非奇非偶函数）
还可能是f（x）=x^3+4（此时f(x)是非奇非偶函数）
还可能是f（x）=x^3（此时f(x)是偶函数）。

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第1个回答 2020-04-03

证明：(1)若函数f(x)可导且为周期函数，
则存在a≠0使得f(x+a)=f(x),
两边对x求导得f'(x+a)=f'(x),
所以f'(x)是以a为周期的周期函数.
(2)设f(x)是奇函数,
则f(-x)=-f(x),
两边对x求导得-f'(-x)=-f'(x),
所以f'(-x)=f'(x),f'(x)是偶函数.

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命题P:若f(x)可导且是奇函数,则f'(x).是偶函数。请问P的逆否命题是什么...答：P的逆否命题是：若f'(x)不是偶函数，则f(x)不是奇函数。

下面的逆命题如何写?是否成立呢?答：逆命题成立 若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)可导，(1)如果f(x)在[a,b]上单调增加,则在(a,b)内f'(x)>0；(2)如果f(x)在[a,b]上单调减少，则在(a,b)内f'(x)<0；

拉格朗日中值定理的逆命题到底是否成立?答：逆命题不成立。举个反例即可：设，2x x<=0 f(x)= x-1 x>0 则在(-1,1)上有点1/2,使得f(1)-f(-1)=2=f'(1/2)(1-(-1))但是，明显的，f(x)在点0不连续，当然也不可导。

可导一定可微吗?答：(X0)有定义，则称f(x)在X0点可微。从图像的角度分析，就是说f(x)的图像在(X0, f(X0))点有非垂直切线，且该点不是间断点、尖点。若f(x)在X0点可微，则f(x)在该点必连续。逆命题则不成立，一个连续函数未必可微——可微必连续，连续未必可微。即可微一定可导，可导不一定可微。

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