指数函数的极限怎么求？？

Question

如题所述

Answer 1

指数函数的极限怎么求如下：

(1)x-->0时

x-->0时,由于lim[f(x)]=0,limx=0,属于0/0型未定式。由洛必达法则可lim[f(x)/x]=lim[f'(x)/x']=lim[(2^x+3^x-2)'/x']=lim(2^xln2+3^xln3)=ln2+ln3=ln6≠0,所以f(x)=2^x+3^x-2与x为同阶无穷小。

(2)x-->0时

x-->0时，由于lim[f(x)]=lim[(a^x+b^x+c^x)/3]=1，lim(1/x)=∞,属于1^∞型未定式,将1^∞型转化为0/0型未定式形式,再由洛必达法则求

解.lim[f(x)]=lim[(a^x+b^x+c^x)/3]^(1/x)=lim{e^[(1/x)ln[(a^x+b^x+c^x)/3]]}=e^{lim[ln[(a^xb^x+c^x)/3]/x]}==e^(lna+lnb+lnc)=e^[ln(abc)]=abc

介绍

指数函数是数学中重要的函数。应用到值e上的这个函数写为exp(x)。还可以等价的写为ex，这里的e是数学常数，就是自然对数的底数，近似等于2.718281828，还称为欧拉数。

当a>1时，指数函数对于x的负数值非常平坦，对于x的正数值迅速攀升，在x等于0的时候，y等于1。当0<a<1时，指数函数对于x的负数值迅速攀升，对于x的正数值非常平坦，在x等于0的时候，y等于1。在x处的切线的斜率等于此处y的值乘上lna。

Answer 2

指数函数的极值可以通过求导数来确定。对于一般形式的指数函数 y = a^x，其中 a 是一个实数且 a > 0 且 a ≠ 1。
1. 当 a > 1 时：
- 如果 a^x 在定义域内单调递增（即 a > 1），则函数没有极值。
- 如果 a^x 在定义域内单调递减（即 0 < a < 1），则函数的极小值为 x = +∞，无极大值。
2. 当 a < 1 时：
- 如果 a^x 在定义域内单调递增（即 0 < a < 1），则函数的极大值为 x = +∞，无极小值。
- 如果 a^x 在定义域内单调递减（即 a > 1），则函数没有极值。
需要注意的是，以上讨论的定义域是实数域，对于复数域的指数函数求极值存在更为复杂的情况，涉及到复数的模和辐角的计算。
另外，如果指数函数伴随着其他运算（如加法、乘法、指数运算等），求极值的方法可能会有所不同。