设函数f(x,y)在点(0,0)的某邻域内有定义,且fx(0,0)=3,fy(0,0)=-1,则:
曲线z=f(x,y),y=0在点(0,0,f(0,0))的切向量为(1,0,3)
请问这是为什么?
理由如下:
A:f(x,y)不一定可微。
B:曲面: z-f(x,y)=0 在(0,0)点上的法向量为(-f’x,-f’y,1)=(-3,1,1) 。
C:该曲线在点(0,0)处切向量为:
曲面:z-f(x,y)=0 在点(0,0)处法向量n=(-3,1,1)。
与曲面:y=0 在点(0,0)处法向量m=(0,1,0)的叉乘n✖️m=(1,0,3) 。
公理
邻域公理是现代数学拓扑结构的基础概念,是定义拓扑的五套等价公理之一。这套公理直接定义了空间上的整套领域系,而非简单定义某个点的邻域。映射U即是将x映射至x邻域组成的集合。
U1:若A是x的邻域,则x属于A。这是显然的。
U2:若A和B都是x的邻域,则A和B的交集也是x的邻域。即邻域对于有限交运算封闭。
U3:若A是x的邻域,则所有包含A的集合都是x的邻域。
U4:若A是x的邻域,则存在一个被A包含的集合B(可以相等),使得B是其中所有点的邻域。换言之,若x有一个邻域,那么一定可以将其缩小,缩小到它是其中所有点的邻域。