秩-零化度定理的简介

Question

如题所述

Answer 1

对一个元素在域F中的矩阵，有：
rank A+ nullity A= n同样的，对于一个从 F线性空间V射到 F线性空间W的线性变换T：T: V→ W， T的秩是它的象的维度，T的零化度是它的核（零空间）的维度。我们有：
dim (im T) + dim (ker T) = dim V也就是： rank T+ nullity T= dim V实际上定理在更广的范围内也成立，因为V和 F可以是无限维的。
证明
证明的方法基于线性空间的基和同构。
设 V是一个有限维线性空间， dim V= n，对一个从V射到 F的线性变换 T，ker T是 V的一个子空间。设 是 ker T的一组基（ p≤ n）。根据基扩充定理，可以被扩充为 V的一组基：。 是一组线性无关的向量，设 H是它们张成的子空间，那么 V是 ker T与 H的直和：
所以，按照直和的性质，有 dim (H) + dim (ker T) = dim V，并且，同时，，其中。考虑T限制在 H上到 im T的线性变换：
下证是一个双射：
是一个单射，因为， 。 是一个满射，因为， ，而且 ，其中。 于是 ，其中，所以是一个满射。 于是是一个H到 im T的同构，所以
dim (H) = dim ( Im (T)) 综上所述，即有： dim (im T) + dim (ker T) = dim V也就是： rank T+ nullity T= dim V