数列{an}中，a1=1，a2=2．数列{bn}满足bn=an+1+(-1)na...

Question

数列{an}中，a1=1，a2=2．数列{bn}满足bn=an+1+(-1)nan，n∈N+． （1）若数列{an}是等差数列，求数列{bn}的前6项和S6； （2）若数列{bn}是公差为2的等差数列，求数列{an}的通项公式； （3）若b2n-b2n-1=0，b2n+1+b2n=62n，n∈N+，求数列{an}的前2n项的和T2n．

Answer 1

解：（1）∵数列{an}是等差数列，a1=1，a2=2，∴an=n，
∴bn=an+1+(-1)nan
=（n+1）+（-1）nn，
∴数列{bn}的前6项和S6=（2-1）+（3+2）+（4-3）+（5+4）+（6-5）+（7+6）=30．
（2）∵数列{bn}是公差为2的等差数列，b1=a2-a1=1，
∴bn=2n-1．
∵bn=an+1+（-1）nan，
∴b2n-1=a2n-a2n-1=4n-3，b2n=a2n+1+a2n=4n-1．
相减可得
a2n+1+a2n-1=2，a2n+3+a2n+1=2，∴a2n+3=a2n-1．
∵a1=1，a3=1，∴a4n-3=a1=1，a4n-1=a3=1．
∴an=1，n为奇数2n-2，n为偶数．
（3）∵b2n-b2n-1=0，b2n+1+b2n=62n，n∈N+，
而b2n-1=a2n-a2n-1，b2n=a2n+1+a2n，b2n+1=a2n+2-a2n+1，
∴a2n+1=-a2n-1，a2n+2+a2n=62 n，n∈N+，
∵a1=1，∴a2n-1=（-1）n-1，
∵a2=2，由a2n+2+a2n=62 n，n∈N+，可知，数列{a2n}唯一确定，
而a2n=42n时满足要求，∴a2n=42n，
∴数列{an}的前2n项的和T2n=（a1+a3+…+a2n-1）+（a2+a4+…+a2n）=1-(-1)n1-(-1)-2×(1-12n)1-12
=92-4×(12)n-(12)•(-1)n．
∴数列{an}的前2n项的和T2n=92-4×(12)n-(12)•(-1)n．